Se supone que nació en Nicea, Bitinia, (Iznik, Turquía) y vivió, aproximadamente, entre el año 194 a.n.e. y el año 120 a.n.e. También se le conoce como Hiparco de Rodas.
Concibió la trigonometría esférica mientras trabajaba en Rodas y Alejandría, creando incluso una tabla de cuerdas precursora a la tabla de senos. Tal revolución en la Matemática le abrió nuevos caminos hacia la Cosmología, la Astrofísica y la Astronomía, además de permitirle la mejora de instrumentos de observación basados en ella tales como la dioptra o el astrolabio. Precisamente éste instrumento se basa en un círculo dividido en 360 grados y con un brazo móvil desde su centro que, al ser dirigido desde su punto cero al horizonte, permite observando dicho brazo determinar la altura o azimut de cualquier astro.
Hiparco basó sus trabajos en los de otros astrónomos anteriores como: Eudoxo de Cnido (408-355 a.C.) precursor del planteamiento de un modelo planetario matemático, contemporáneo y pupilo de Platón, autor de una hipótesis sobre esferas concéntricas que pretendía explicar los movimientos aparentes del Sol, la Luna y los cinco planetas conocidos hasta entonces; Aristarco de Samos (310-230 a.C.), por la controversia que rodea sus teorías; el gran geómetra Apolonio de Perga (262-190 a.C.), que realiza un estudio definitivo de las cónicas; y, por último, Eratóstenes (276-194 a.C.), al que se deben los primeros cálculos rigurosos para determinar las dimensiones de la Tierra. Hiparco también se basó en la medición lunar tanto de su tamaño como en la distancia respecto a la Tierra, consiguiendo determinar con precisión los movimientos lunares relacionándolos con la órbita solar, y pudiendo realizar la predicción de eclipses que hasta entonces sólo se había conseguido mediante el método babilonio saros o sharu: determinado ciclo de repetición de un mismo eclipse que se produce cada vez 120º más hacia al oeste que el anterior, por lo que el lugar de observación no puede ser el mismo. También se le atribuye la precesión de los equinocios, algo sumamente importante dado que no implica desplazamiento hacia adelante, pues se toma como el movimiento de un eje girando alrededor de un cono y ello es por haber tenido en cuenta la protuberancia ecuatorial de la Tierra sólo con la observación de la sombra proyectada por la Tierra en la superficie lunar. A partir de ahí también aplicó la división terrestre en 360º mediante paralelos y meridianos, llamando climas a las áreas entre paralelos. De esta división surgió la problemática de la proyección en planos de la superficie terrestre que curva, problema que también resolvió.
En sus observaciones determinó, además, la duración del año solar en 365 y 6 horas y 5 minutos, éste entre otros muchos y relevantes "descubrimientos" como es la catalogación, no revisada hasta el siglo XVI, de unas 850 estrellas con sus posiciones y brillos, mediante una escala que distingue seis magnitudes y cuya clasificación fotogamétrica sigue vigente hoy en día.
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domingo, 10 de junio de 2012
miércoles, 25 de abril de 2012
Astronomía: Aristarco de Samos, el Matemático
Los griegos ya le conocían como "Aristarco, el Matemático". Nació en el 310 a.n.e y murió en el230 a.n.e., aproximadamente. Aristarco de Samos es reconocido, generalmente, como el precursor de Copérnico.
Dos siglos antes, los filósofos Filolao e Hicetas (ambos de Crotona) habían especulado por separado, aunque tal vez en torno a las ideas de Hicetas de Siracusa, que la Tierra era una esfera que gira un poco a diario en torno a un fuego místico central: llamado Hestia, según Filolao, que regula el universo. Aristarco de Samos quizá amplió tal idea al proponer que la Tierra y otros planetas se trasladan alrededor de un objeto central definido, que él creía que era el Sol.
Su búsqueda de patrones geométricos que cumplieran las condiciones platónicas, precisamente le llevó al modelo más simple: un sistema de órbitas circulares, centradas en el Sol, y así fue presentado por Aristarco de Samos pero fue rechazado de inmediato por sus colegas, ya que el sólo pensamiento de que la Tierra se movía era considerado imposible por razones físicas, tal y como se documenta y extrae del siguiente pasaje de Plutarco, biógrafo griego, en su obra "De facie in orbe lunae":
"Cleantes, un contemporáneo de Aristarco pensó que era el deber de los Griegos procesar a Aristarco de Samos con el cargo de impiedad por poner en movimiento el Hogar del universo [es decir, la Tierra]. . . suponiendo que el cielo permanece en reposo y la Tierra gira en un círculo oblicuo, mientras que rota, al mismo tiempo, sobre su propio eje."
Plutarco en esta última frase apunta a que Aristarco siguió las creencias de Heráclides de Ponto sobre que la rotación diaria aparente de las estrellas fijas se debía a la rotación de la Tierra sobre su eje.
La teoría de Aristarco se presupone, además de la anterior referencia de Plutarco, según un enunciado resumido que hizo Arquímedes en su obra "El Arenario":
"Tú, Rey Gelón estás conciente de que "universo" es el nombre dado por la mayoría de los astrónomos a la esfera cuyo centro es la Tierra, mientras que su radio es igual a la línea recta entre el centro del Sol y el centro de la Tierra. Éste es el conocimiento común que has escuchado de los astrónomos. Pero Aristarco ha traído un libro en el que explica cierta hipótesis, en la que, basado en ciertas suposiciones, el universo es mucho más grande que el "universo" que acabo de mencionar. Sus hipótesis son que las estrellas fijas y el Sol permanecen fijos, y es la Tierra la que se mueve alrededor del Sol en la circunferencia de un círculo, el Sol yace sobre la órbita y la esfera de estrellas fijas, situadas sobre el mismo centro que el Sol, es tan grande que el círculo en que él supone que la Tierra se mueve, guarda igual proporción respecto a la distancia de las estrellas fijas como la que hay entre el centro de la esfera y su superficie."
No obstante, el propio Arquímedes también criticó aquellos puntos de vista dándoles proporciones matemáticas insignificantes, dado que Aristarco se encontraba más interesado en el método geométrico en sí que en los resultados numéricos y probablemente se basaba en estimaciones. De hecho, la manera en que Aristarco expresó sus proporciones es, según los estudios de Sir Thomas L. Heath, similar a otras expresiones que ocurrían en los escritos griegos, e indicando que Aristarco consideraba que el radio de la esfera de las estrellas fijas fuera infinitamente grande comparado con la órbita de la Tierra. Aristarco hubo de tener en cuenta semejante supuesto, pues de otra manera, los efectos de paralaje, desviación angular de la posición aparente de un objeto dependiendo del punto de vista elegido, serían visibles.
Cabe referir que en las anotaciones iniciales realizadas por Nicolás Copérnico en su manuscrito de seis libros precisamente mencionaba a Aristarco y sus teorías, pero posteriormente fueron eliminadas durante la publicación póstuma de esta obra "De Revolutionibus Orbium Coelestium" en el año 1543 y llevada a cabo por el editor Andreas Osiander.
Sin embargo, el Profesor Lucio Russo afirma en su libro "The Forgotten Revolution", que el filólogo francés del siglo XVII Gilles Ménage, traductor clásico, influenciado probablemente por la persecución a heliocentristas como Giordano Bruno o Galileo, tradujo erróneamente la cita de Plutarco (cambiando un acusativo por un nominativo y viceversa), como demuestra el hecho de que todas las versiones anteriores a la traducción de Ménage, que es la que se difundió desde entonces, presentan los términos claramente invertidos: por lo que parece ser que es Aristarco quien sugiere que Cleantes debe ser juzgado por impiedad y no al contrario. Este hecho, ya mencionado por Giacomo Leopardi en su libro "Historia de la Astronomia" sugiere que sería necesaria la reinterpretación de las ideas de Aristarco.
No obstante lo anterior, no existe una certeza absoluta ni pruebas fehacientes, salvo la anterior de Copérnico y con un siglo de diferencia a su favor, sobre su supuesto modelo heliocéntrico.
Aristarco fue alumno de Estratón de Lámpsaco, director del Liceo Aristotélico pero en la sede de éste en Alejandría ya que Estratón se convirtió en el director del Liceo de Alejandría hacia el 187 d.C.
Aristarco de Samos también fue mencionado por Vitruvio (siglo I d.C.), famoso arquitecto e ingeniero romano. Vitruvio fue el autor de un importante tratado "De Architectura" y en este trabajo ya lista a los hombres que han sido eruditos en varias ramas de la Ciencia:
"Hombres de su tipo son raros, hombres tales como fueron antiguamente Aristarco de Samos, Filolao y Arquitas de Tarento, Apolonio de Perga, Eratóstenes de Cirene, Arquímides y Escopinas de Siracusa, quienes dejaron para la posteridad muchos artefactos mecánicos y de conocimiento que ellos inventaron y explicaron con principios matemáticos."
También según Vitruvio, Aristarco invento un reloj de sol en forma de tazón hemisférico con un apuntador para crear sombras localizadas a la mitad del tazón. Cabe la hipótesis de que Aristarco desarrollase otros instrumentos para sus mediciones astronómicas pero no consta como inventor de ninguno otro en particular.
El único trabajo de Aristarco que sobrevive es "Sobre Los Tamaños y Distancias del Sol y la Luna" no está basado en la teoría heliocéntrica y el trabajo que menciona Arquímedes se ha perdido. En "Sobre Los Tamaños y Distancias del Sol y la Luna", Aristarco desarrolla su sobresaliente argumento geométrico, basado en la observación, determinando que el sol se encuentra a 20 veces la distancia de la Tierra de lo que está la Luna, y que tiene una medida de 20 veces el tamaño de la Luna. Ambas estimaciones resultan ser de un orden de magnitud inferior al real pero tal error sólo se debe a la falta de instrumentos precisos de Aristarco, pues el desarrollo de su razonamiento es más que correcto.
Basándose en ciertas consideraciones expresadas por Anaxágoras, según las cuales se refiere a las fases de la Luna ; las mismas son producto de la posición de dicho satélite con relación a las ubicaciones periódicas respecto de la Tierra y del Sol; nace otro de los descubrimientos de Aristarco: La Dicotomía de la Luna y que se refiere a la posición que asumen, sobre el horizonte, la Luna y el Sol en el momento que dicho satélite recibe la luz solar, exactamente en la mitad de su superficie. Bajo tales circunstancias, se forma un ángulo recto por las distancias Luna – Sol y Luna – Tierra, que Aristarco midió "rústicamente": el ángulo Alfa formado por las distancias Luna – Tierra y Tierra – Sol. Su medición arrojó un valor de 87º (por los métodos actuales el valor es de 89º 51´); y tomando como unidad la distancia Tierra – Luna para ver cuantas veces era mayor la distancia Tierra – Sol. Lógicamente, el error de 2º para el ángulo Alfa produce diferencias sumamente grandes ya que son cálculos astronómicos. Empleó reglas matemáticas de proporciones que hoy en día mediante el teorema del Seno pueden resolver el problema que alcanzó a descifrar la genialidad de Aristarco de Samos.
Según Otto E. Neugebauer matemático y astrónomo dedicado a la investigación de la Historia de la Ciencia, Aristarco no parecía estar interesado en la precisión astronómica pues lo habría hecho mucho mejor si hubiera querido. Neugebauer sugiere, por el contrario, que Aristarco estaba solamente interesado en la teoría matemática detrás de su descubrimiento de las distancias y diámetros, demostrando que tales mediciones podrían ser realizadas y, ya que tuvo éxito, mostrándolo:
"... el poder de la aproximación matemática a problemas astronómicos ha sido drásticamente demostrado, en el mismo sentido en que Eudoxo, un siglo antes, construyó modelos de movimiento los cuales podían relacionarse con el movimiento planetario sin resolver un problema específico.”
Otra referencia a Aristarco se encuentra en estudios de Bowen y Goldstein:
... un pasaje difícil en un comentario anónimo escrito en griego, durante el siglo II AC en el libro 20 de la Odisea de Homero…el autor [anónimo] cita a Aristarco de Samos haciendo referencia a Tales y a Heráclito para apoyar su tesis [de] eclipses solares…[Su] tesis concerniente a las ocasiones en que pueden ocurrir los eclipses solares descansa en un análisis de las convenciones de los calendarios griego y egipcio, más que apelar a la observación de eclipses solares
Aristarco tuvo la suficiente capacidad de comprensión como para sostener que las estrellas podían estar inmensamente lejos, cosa que ha confirmado plenamente la ciencia. El sistema de Aristarco con sus movimientos circulares, fallaba en lo que se considera lo más importante: "salvar" los fenómenos, es decir, proporcionar una predicción lo suficientemente exacta, pero no explicaba lo más inmediato y tangible: la desigual duración de las estaciones.
Aristarco no debió ser el único que dirigió sus hipótesis en tales pasos pero en los textos antiguos prácticamente se han borrado los nombres de sus sacrílegos seguidores. Al único al que se recuerda es a Seleuco, un astrónomo babilonio, que vivió un siglo después de Aristarco y que contempló la teoría heliocéntrica con bases argumentadas en una teoría de las mareas sobre la interacción Tierra-Luna y Tierra-Sol y desarrollada a partir de las teorías de Hiparco de Nicea, también conocido como Hiparco de Rodas.
Dos siglos antes, los filósofos Filolao e Hicetas (ambos de Crotona) habían especulado por separado, aunque tal vez en torno a las ideas de Hicetas de Siracusa, que la Tierra era una esfera que gira un poco a diario en torno a un fuego místico central: llamado Hestia, según Filolao, que regula el universo. Aristarco de Samos quizá amplió tal idea al proponer que la Tierra y otros planetas se trasladan alrededor de un objeto central definido, que él creía que era el Sol.
Su búsqueda de patrones geométricos que cumplieran las condiciones platónicas, precisamente le llevó al modelo más simple: un sistema de órbitas circulares, centradas en el Sol, y así fue presentado por Aristarco de Samos pero fue rechazado de inmediato por sus colegas, ya que el sólo pensamiento de que la Tierra se movía era considerado imposible por razones físicas, tal y como se documenta y extrae del siguiente pasaje de Plutarco, biógrafo griego, en su obra "De facie in orbe lunae":
"Cleantes, un contemporáneo de Aristarco pensó que era el deber de los Griegos procesar a Aristarco de Samos con el cargo de impiedad por poner en movimiento el Hogar del universo [es decir, la Tierra]. . . suponiendo que el cielo permanece en reposo y la Tierra gira en un círculo oblicuo, mientras que rota, al mismo tiempo, sobre su propio eje."
Plutarco en esta última frase apunta a que Aristarco siguió las creencias de Heráclides de Ponto sobre que la rotación diaria aparente de las estrellas fijas se debía a la rotación de la Tierra sobre su eje.
La teoría de Aristarco se presupone, además de la anterior referencia de Plutarco, según un enunciado resumido que hizo Arquímedes en su obra "El Arenario":
"Tú, Rey Gelón estás conciente de que "universo" es el nombre dado por la mayoría de los astrónomos a la esfera cuyo centro es la Tierra, mientras que su radio es igual a la línea recta entre el centro del Sol y el centro de la Tierra. Éste es el conocimiento común que has escuchado de los astrónomos. Pero Aristarco ha traído un libro en el que explica cierta hipótesis, en la que, basado en ciertas suposiciones, el universo es mucho más grande que el "universo" que acabo de mencionar. Sus hipótesis son que las estrellas fijas y el Sol permanecen fijos, y es la Tierra la que se mueve alrededor del Sol en la circunferencia de un círculo, el Sol yace sobre la órbita y la esfera de estrellas fijas, situadas sobre el mismo centro que el Sol, es tan grande que el círculo en que él supone que la Tierra se mueve, guarda igual proporción respecto a la distancia de las estrellas fijas como la que hay entre el centro de la esfera y su superficie."
No obstante, el propio Arquímedes también criticó aquellos puntos de vista dándoles proporciones matemáticas insignificantes, dado que Aristarco se encontraba más interesado en el método geométrico en sí que en los resultados numéricos y probablemente se basaba en estimaciones. De hecho, la manera en que Aristarco expresó sus proporciones es, según los estudios de Sir Thomas L. Heath, similar a otras expresiones que ocurrían en los escritos griegos, e indicando que Aristarco consideraba que el radio de la esfera de las estrellas fijas fuera infinitamente grande comparado con la órbita de la Tierra. Aristarco hubo de tener en cuenta semejante supuesto, pues de otra manera, los efectos de paralaje, desviación angular de la posición aparente de un objeto dependiendo del punto de vista elegido, serían visibles.
Cabe referir que en las anotaciones iniciales realizadas por Nicolás Copérnico en su manuscrito de seis libros precisamente mencionaba a Aristarco y sus teorías, pero posteriormente fueron eliminadas durante la publicación póstuma de esta obra "De Revolutionibus Orbium Coelestium" en el año 1543 y llevada a cabo por el editor Andreas Osiander.
Sin embargo, el Profesor Lucio Russo afirma en su libro "The Forgotten Revolution", que el filólogo francés del siglo XVII Gilles Ménage, traductor clásico, influenciado probablemente por la persecución a heliocentristas como Giordano Bruno o Galileo, tradujo erróneamente la cita de Plutarco (cambiando un acusativo por un nominativo y viceversa), como demuestra el hecho de que todas las versiones anteriores a la traducción de Ménage, que es la que se difundió desde entonces, presentan los términos claramente invertidos: por lo que parece ser que es Aristarco quien sugiere que Cleantes debe ser juzgado por impiedad y no al contrario. Este hecho, ya mencionado por Giacomo Leopardi en su libro "Historia de la Astronomia" sugiere que sería necesaria la reinterpretación de las ideas de Aristarco.
No obstante lo anterior, no existe una certeza absoluta ni pruebas fehacientes, salvo la anterior de Copérnico y con un siglo de diferencia a su favor, sobre su supuesto modelo heliocéntrico.
Aristarco fue alumno de Estratón de Lámpsaco, director del Liceo Aristotélico pero en la sede de éste en Alejandría ya que Estratón se convirtió en el director del Liceo de Alejandría hacia el 187 d.C.
Aristarco de Samos también fue mencionado por Vitruvio (siglo I d.C.), famoso arquitecto e ingeniero romano. Vitruvio fue el autor de un importante tratado "De Architectura" y en este trabajo ya lista a los hombres que han sido eruditos en varias ramas de la Ciencia:
"Hombres de su tipo son raros, hombres tales como fueron antiguamente Aristarco de Samos, Filolao y Arquitas de Tarento, Apolonio de Perga, Eratóstenes de Cirene, Arquímides y Escopinas de Siracusa, quienes dejaron para la posteridad muchos artefactos mecánicos y de conocimiento que ellos inventaron y explicaron con principios matemáticos."
También según Vitruvio, Aristarco invento un reloj de sol en forma de tazón hemisférico con un apuntador para crear sombras localizadas a la mitad del tazón. Cabe la hipótesis de que Aristarco desarrollase otros instrumentos para sus mediciones astronómicas pero no consta como inventor de ninguno otro en particular.
El único trabajo de Aristarco que sobrevive es "Sobre Los Tamaños y Distancias del Sol y la Luna" no está basado en la teoría heliocéntrica y el trabajo que menciona Arquímedes se ha perdido. En "Sobre Los Tamaños y Distancias del Sol y la Luna", Aristarco desarrolla su sobresaliente argumento geométrico, basado en la observación, determinando que el sol se encuentra a 20 veces la distancia de la Tierra de lo que está la Luna, y que tiene una medida de 20 veces el tamaño de la Luna. Ambas estimaciones resultan ser de un orden de magnitud inferior al real pero tal error sólo se debe a la falta de instrumentos precisos de Aristarco, pues el desarrollo de su razonamiento es más que correcto.
Basándose en ciertas consideraciones expresadas por Anaxágoras, según las cuales se refiere a las fases de la Luna ; las mismas son producto de la posición de dicho satélite con relación a las ubicaciones periódicas respecto de la Tierra y del Sol; nace otro de los descubrimientos de Aristarco: La Dicotomía de la Luna y que se refiere a la posición que asumen, sobre el horizonte, la Luna y el Sol en el momento que dicho satélite recibe la luz solar, exactamente en la mitad de su superficie. Bajo tales circunstancias, se forma un ángulo recto por las distancias Luna – Sol y Luna – Tierra, que Aristarco midió "rústicamente": el ángulo Alfa formado por las distancias Luna – Tierra y Tierra – Sol. Su medición arrojó un valor de 87º (por los métodos actuales el valor es de 89º 51´); y tomando como unidad la distancia Tierra – Luna para ver cuantas veces era mayor la distancia Tierra – Sol. Lógicamente, el error de 2º para el ángulo Alfa produce diferencias sumamente grandes ya que son cálculos astronómicos. Empleó reglas matemáticas de proporciones que hoy en día mediante el teorema del Seno pueden resolver el problema que alcanzó a descifrar la genialidad de Aristarco de Samos.
Según Otto E. Neugebauer matemático y astrónomo dedicado a la investigación de la Historia de la Ciencia, Aristarco no parecía estar interesado en la precisión astronómica pues lo habría hecho mucho mejor si hubiera querido. Neugebauer sugiere, por el contrario, que Aristarco estaba solamente interesado en la teoría matemática detrás de su descubrimiento de las distancias y diámetros, demostrando que tales mediciones podrían ser realizadas y, ya que tuvo éxito, mostrándolo:
"... el poder de la aproximación matemática a problemas astronómicos ha sido drásticamente demostrado, en el mismo sentido en que Eudoxo, un siglo antes, construyó modelos de movimiento los cuales podían relacionarse con el movimiento planetario sin resolver un problema específico.”
Otra referencia a Aristarco se encuentra en estudios de Bowen y Goldstein:
... un pasaje difícil en un comentario anónimo escrito en griego, durante el siglo II AC en el libro 20 de la Odisea de Homero…el autor [anónimo] cita a Aristarco de Samos haciendo referencia a Tales y a Heráclito para apoyar su tesis [de] eclipses solares…[Su] tesis concerniente a las ocasiones en que pueden ocurrir los eclipses solares descansa en un análisis de las convenciones de los calendarios griego y egipcio, más que apelar a la observación de eclipses solares
Aristarco tuvo la suficiente capacidad de comprensión como para sostener que las estrellas podían estar inmensamente lejos, cosa que ha confirmado plenamente la ciencia. El sistema de Aristarco con sus movimientos circulares, fallaba en lo que se considera lo más importante: "salvar" los fenómenos, es decir, proporcionar una predicción lo suficientemente exacta, pero no explicaba lo más inmediato y tangible: la desigual duración de las estaciones.
Aristarco no debió ser el único que dirigió sus hipótesis en tales pasos pero en los textos antiguos prácticamente se han borrado los nombres de sus sacrílegos seguidores. Al único al que se recuerda es a Seleuco, un astrónomo babilonio, que vivió un siglo después de Aristarco y que contempló la teoría heliocéntrica con bases argumentadas en una teoría de las mareas sobre la interacción Tierra-Luna y Tierra-Sol y desarrollada a partir de las teorías de Hiparco de Nicea, también conocido como Hiparco de Rodas.
domingo, 15 de abril de 2012
Matemática: Euclides, Pensamiento Axiomático y Filosofía
Considerado como padre de la Geometría, Euclides fue un matemático y geómetra griego que vivió en Alejandría entre el año 300 y el 265 a.d.e., bajo el reinado de Ptolomeo Soter, el fundador de la dinastía Ptolemaica. Este monarca solicitó a Euclides un procedimiento sencillo para dominar la ciencia Matemática, pero éste le contestó que en tal ciencia no existía camino regio posible y que debería incluso aventurarse por los más escarpados y difíciles para salir vencedor en terreno tan abrupto, aunque tambíén esta anécdota se atribuye a Menecmo (Triada de Elipse, Parábola e Hipérbola, también llamadas Cónicas de Menecmo, y Duplicación del Cubo como resolución al problema délico del altar del templo), de la academia platónica, en replica a un requerimiento similar por parte de Alejandro Magno.
Euclídes, buen conocedor de la geometría de la mencionada escuela platónica, reunió en su obra "Elementos" una recopilación de carácter enciclopédico con el saber matemático de toda la Antiguedad en relación, sobre todo, con el plano, pero también con el espacio tridimensional. Compuesta de trece libros, el primero trata de la construcción del traiángulo rectángulo y termina con el teorema de Pitágoras. El segundo libro estudia varias aplicaciones de dicho teorema resolviendo ecuaciones de segundo grado mediante procedimientos hoy en desuso. El libro tercero trata del círculo y sus propiedades, mientras que el libro cuarto estudia la inscripción y circunscripción de los polígonos regulares en el círculo. El libro quinto establece la teoría de las proporciones, lo cual desarrolla en el sexto libro mediante la comparación de figuras semejantes conteniendo, además, problemas de máximos y mínimos.
Los libros séptimo, octavo y noveno establecen los fundamentos de la aritmética: teoría del número, propiedades de las series numéricas, estudio de los números primos y del máximo común divisor. El libro décimo se ocupa de los números irracionales, mientras que los tres últimos libros versan sobre la geometría espacial.
Pero además de la compilación de conocimientos, resulta muy destacable la exposición de cada una de las proposiciones mediante un método axiomático: veintitrés principios definidos como puntos de partida, cinco postulados:
Se puede trazar una línea recta que pase por dos puntos.
Se puede prolongar una línea recta indefinidamente a partir de una recta finita.
Se puede trazar una circunferencia con centro y radio dado.
Todos los ángulos rectos son iguales.
Si una línea recta que corta a otras dos rectas forma de un mismo lado con ellas ángulos interiores cuya suma es menor que dos rectos, las dos últimas rectas prolongada indefinidamente se cortan del lado en que la suma de los ángulos es menor que dos rectos.
y cinco axiomas o nociones comunes, todo lo cual ha convertido este libro en texto de estudio y obra de conocimiento fundamental durante casi 2000 años, casi hasta principios del siglo XIX, momento en que aparece los primeros tímidos atisbos de la geometría no euclidiana a partir de los estudios de Kant expuestos en su obra "Prolegómenos", intuyendo la posibilidad de espacios más que tridimensionales.
Hay que tener en cuenta que los axiomas de Euclides para la geometría no sólo fueron y son todavía en gran medida el paradigma del modo de operar de la razón matemática sino que cristalizaron también una estética profunda y casi imperativa para esa razón, con implicaciones múltiples en la filosofía que llegan hasta la época contemporánea. Esa estética es la del delicado equilibrio entre simplicidad y alcance, entre la mínima cantidad de presupuestos y la máxima cantidad de consecuencias derivables. El atractivo y seducción del modelo euclideano reside en que a partir de nociones muy elementales como punto, recta, círculo, y sólo cinco axiomas que vinculan de manera casi obvia estas nociones entre sí, puede desarrollarse de teorema en teorema toda la geometría clásica, es decir, la totalidad de la geometría que conocía la humanidad hasta no hace mucho tiempo atrás y que Kant creyó la única posible: la geometría que se corresponde con la percepción que tenemos del mundo y sirve a cartógrafos, arquitectos y agrimensores para todos los usos diarios.
La larga influencia del procedimiento axiomático en la filosofía puede rastrearse en la Etica de Spinoza, que lleva como subtítulo “Demostrada según el orden geométrico” y también en la búsqueda de Descartes de una verdad “a salvo de toda duda razonable” que pudiera servir como primer principio y punto de apoyo para construir, por pasos puramente lógicos, un sistema de pensamiento inexpungable. Pero quizá la historia más conocida en torno a la geometría euclideana es la que tiene que ver con el quinto postulado:
"Dada una recta y un punto fuera de ella, hay una única recta paralela a la dada que pasa por ese punto·"
De los cinco axiomas este último era, incluso para el propio Euclides, el menos obvio, y en las demostraciones trata de utilizarlo sólo cuando es estrictamente necesario. Durante dos mil años se pensó que tal vez sería posible probar este quinto axioma a partir de los cuatro anteriores, como un teorema más, y encontrar esa demostración elusiva se convirtió en el principal problema abierto de los geómetras. Finalmente un joven estudiante ruso, Nikolay Lobachevsky, descubrió en 1826 que era enteramente posible desarrollar una nueva geometría en la que fueran válidos los cuatro primeros axiomas pero no el quinto. Posteriormente Bolyai probó algo todavía más curioso: que la nueva geometría, por extraña que pudiera parecer a la intuición, era tan legítima y sólida como la euclideana, en el sentido de que si llevaba a alguna contradicción lógica, la “culpa” de esta contradicción no podría atribuírse a la negación del quinto postulado, sino a los cuatro anteriores, compartidos con la geometría clásica.
Gauss, otro de los padres de la geometría hiperbólica, que había llegado por su cuenta a las mismas conclusiones y probablemente con anteriordad a Lobachevscky, observó que la existencia de una geometría no euclideana ponía en crisis la idea kantiana de una noción a priori del espacio. Este fue uno de los golpes más duros a la filosofía de Kant, al que se sumaron luego los experimentos sobre la geometría de la percepción visual, tampoco enteramente euclideana, debidos a Helmholtz.
El espíritu de Euclides revivió con particular fuerza a principios de 1900 en el programa de Hilbert para fundamentar la matemática y el pensamiento axiomático. Algunas paradojas lógicas señaladas por Russell en la teoría de conjuntos habían hecho crujir por primera vez el edificio orgulloso de la matemática y mostraban la necesidad de buscar principios y métodos de corroboración que permitieran la revisión cuidadosa de cada resultado. La idea detrás del programa de Hilbert era que debía dotarse a toda la matemática de un conjunto de axiomas bien determinados, como los cinco postulados de Euclides, de manera que todo resultado que los matemáticos proclamasen como verdadero, utilizando cualquier método, pudiera corrobarse y reobtenerse a partir de estos axiomas por medio de un procedimiento puramente mecánico, en una sucesión finita de pasos. En una palabra, Hilbert procuraba identificar la noción de verdadero con la noción de demostrable, y así introduce una revisión de los 23 axiomas por 21, y se crea un sistema axiomático moderno en el que no son tomados como verdades evidentes, es decir que los elementos son independientes de su propia existencia teniendo en cuenta sus relaciones definidas y la congruencia entre pares de puntos y ángulos, unificando la geometría en dos y tres dimensiones. De este revisionismo euclideo nacerá la escuela Formalista, una de las tres escuelas matemáticas del siglo XX junto con el Logicismo y el Intuicionismo, y que propone que la Matemática es un juego carente de significado en el que uno juega con símbolos carentes de significado de acuerdo a unas reglas formales establecidas de antemano. Por tanto es una actividad de pensamiento autónoma y libre de contradicciones. Sin embargo, existe un amplio margen de duda al respecto sobre si la propia visión de Hilbert era simplistamente formalista en este sentido.
En 1930 Kurt Gödel mostró que exactamente lo mismo ocurre en la Matemática. Su teorema de incompletitud dio por tierra con el programa de Hilbert al revelar que aún en el fragmento elemental de la aritmética (los números naturales, con la suma y la multiplicación) es imposible dar una cantidad finita de postulados, a la manera de Euclides, que permitan reobtener como teoremas todos los enunciados verdaderos. Es decir, la aritmética, a diferencia de la geometría clásica, es irreductible a un tratamiento axiomático.
El teorema de Gödel, convertido en objeto de culto a la lógica de los psicólogos lacanianos, debe verse como un resultado sobre la limitación de los métodos formales axiomáticos, y en general, como un resultado sobre la limitación del lenguaje. Desde el punto de vista de la matemática dice que hay más complejidad en el mundo de los objetos matemáticos de la que pueden dar cuenta los métodos finitistas de demostración. Dice también que la inteligencia y el discernimiento humano es irremplazable: no puede modelarse un ordenador que arroje todos los enunciados verdaderos sobre los números naturales. El factor humano resulta insustituible para interpretar y asignar sentido.
A la vez, el resultado de Gödel pone por primera vez en crisis la estética simplicidad-alcance profundamente asimilada a partir de Euclides en el pensamiento matemático: la aritmética, y muchos otros fragmentos de la matemática, no pueden axiomatizarse sin perder en el camino una parte de su alcance.
Por lo tanto podemos decir que los fundamentos de las matemáticas, vistos desde el logicismo, el intuicionismo y el formalismo tienen su fundamento en la filosofía, ya que ésta, esuna búsqueda sin término del verdadero conocimiento de la realidad. La filosofía es verdadero amor por la sabiduría y su lenguaje hace de las definiciones, conceptos de amplia visión.
Según Willard Van Orman Quine (1908-2000) filósofo nacido en Akron, Ohio, y reconocido por la contribución de trabajos a la lógica matemática y al pragmatismo como teoría de conocimiento, las raíces filosóficas que se asocian a cada una de las escuelas que intentaron dotar de fundamentos sólidos a las matemáticas son:
El logicismo que se asocia con la escuela filosófica denominada realismo, la cual nos permite aceptar muchas más entidades abstractas en matemáticas, tales como: números, funciones, conjuntos, etc, ya que sostiene que las entidades abstractas tienen una existencia independiente de la mente humana La mente puede describirlas pero no crearlas.
El intuicionismo, asociado con la escuela filosófica llamada conceptualismo. Esta escuela filosófica afirma que las entidades abstractas no tienen existencia en el inundo externo, sólo existen en la medida en que sean construidas por la mente humana.
Y por último, el formalismo que se relaciona con la corriente filosófica llamada nominalismo. Esta corriente sostiene que las entidades abstractas no tienen existencia de ninguna especie, ni fuera de la mente humana, como sostiene el realismo, ni como construcciones mentales en la mente humana, según la apreciación del conceptualismo. Para el nominalismo, las entidades abstractas son meras exclamaciones vocales o líneas escritas, sólo son nombres. De allí el término nominalismo, del latín "nominalis" que significa "perteneciente a un nombre".
Euclídes, buen conocedor de la geometría de la mencionada escuela platónica, reunió en su obra "Elementos" una recopilación de carácter enciclopédico con el saber matemático de toda la Antiguedad en relación, sobre todo, con el plano, pero también con el espacio tridimensional. Compuesta de trece libros, el primero trata de la construcción del traiángulo rectángulo y termina con el teorema de Pitágoras. El segundo libro estudia varias aplicaciones de dicho teorema resolviendo ecuaciones de segundo grado mediante procedimientos hoy en desuso. El libro tercero trata del círculo y sus propiedades, mientras que el libro cuarto estudia la inscripción y circunscripción de los polígonos regulares en el círculo. El libro quinto establece la teoría de las proporciones, lo cual desarrolla en el sexto libro mediante la comparación de figuras semejantes conteniendo, además, problemas de máximos y mínimos.
Los libros séptimo, octavo y noveno establecen los fundamentos de la aritmética: teoría del número, propiedades de las series numéricas, estudio de los números primos y del máximo común divisor. El libro décimo se ocupa de los números irracionales, mientras que los tres últimos libros versan sobre la geometría espacial.
Pero además de la compilación de conocimientos, resulta muy destacable la exposición de cada una de las proposiciones mediante un método axiomático: veintitrés principios definidos como puntos de partida, cinco postulados:
Se puede trazar una línea recta que pase por dos puntos.
Se puede prolongar una línea recta indefinidamente a partir de una recta finita.
Se puede trazar una circunferencia con centro y radio dado.
Todos los ángulos rectos son iguales.
Si una línea recta que corta a otras dos rectas forma de un mismo lado con ellas ángulos interiores cuya suma es menor que dos rectos, las dos últimas rectas prolongada indefinidamente se cortan del lado en que la suma de los ángulos es menor que dos rectos.
y cinco axiomas o nociones comunes, todo lo cual ha convertido este libro en texto de estudio y obra de conocimiento fundamental durante casi 2000 años, casi hasta principios del siglo XIX, momento en que aparece los primeros tímidos atisbos de la geometría no euclidiana a partir de los estudios de Kant expuestos en su obra "Prolegómenos", intuyendo la posibilidad de espacios más que tridimensionales.
Hay que tener en cuenta que los axiomas de Euclides para la geometría no sólo fueron y son todavía en gran medida el paradigma del modo de operar de la razón matemática sino que cristalizaron también una estética profunda y casi imperativa para esa razón, con implicaciones múltiples en la filosofía que llegan hasta la época contemporánea. Esa estética es la del delicado equilibrio entre simplicidad y alcance, entre la mínima cantidad de presupuestos y la máxima cantidad de consecuencias derivables. El atractivo y seducción del modelo euclideano reside en que a partir de nociones muy elementales como punto, recta, círculo, y sólo cinco axiomas que vinculan de manera casi obvia estas nociones entre sí, puede desarrollarse de teorema en teorema toda la geometría clásica, es decir, la totalidad de la geometría que conocía la humanidad hasta no hace mucho tiempo atrás y que Kant creyó la única posible: la geometría que se corresponde con la percepción que tenemos del mundo y sirve a cartógrafos, arquitectos y agrimensores para todos los usos diarios.
La larga influencia del procedimiento axiomático en la filosofía puede rastrearse en la Etica de Spinoza, que lleva como subtítulo “Demostrada según el orden geométrico” y también en la búsqueda de Descartes de una verdad “a salvo de toda duda razonable” que pudiera servir como primer principio y punto de apoyo para construir, por pasos puramente lógicos, un sistema de pensamiento inexpungable. Pero quizá la historia más conocida en torno a la geometría euclideana es la que tiene que ver con el quinto postulado:
"Dada una recta y un punto fuera de ella, hay una única recta paralela a la dada que pasa por ese punto·"
De los cinco axiomas este último era, incluso para el propio Euclides, el menos obvio, y en las demostraciones trata de utilizarlo sólo cuando es estrictamente necesario. Durante dos mil años se pensó que tal vez sería posible probar este quinto axioma a partir de los cuatro anteriores, como un teorema más, y encontrar esa demostración elusiva se convirtió en el principal problema abierto de los geómetras. Finalmente un joven estudiante ruso, Nikolay Lobachevsky, descubrió en 1826 que era enteramente posible desarrollar una nueva geometría en la que fueran válidos los cuatro primeros axiomas pero no el quinto. Posteriormente Bolyai probó algo todavía más curioso: que la nueva geometría, por extraña que pudiera parecer a la intuición, era tan legítima y sólida como la euclideana, en el sentido de que si llevaba a alguna contradicción lógica, la “culpa” de esta contradicción no podría atribuírse a la negación del quinto postulado, sino a los cuatro anteriores, compartidos con la geometría clásica.
Gauss, otro de los padres de la geometría hiperbólica, que había llegado por su cuenta a las mismas conclusiones y probablemente con anteriordad a Lobachevscky, observó que la existencia de una geometría no euclideana ponía en crisis la idea kantiana de una noción a priori del espacio. Este fue uno de los golpes más duros a la filosofía de Kant, al que se sumaron luego los experimentos sobre la geometría de la percepción visual, tampoco enteramente euclideana, debidos a Helmholtz.
El espíritu de Euclides revivió con particular fuerza a principios de 1900 en el programa de Hilbert para fundamentar la matemática y el pensamiento axiomático. Algunas paradojas lógicas señaladas por Russell en la teoría de conjuntos habían hecho crujir por primera vez el edificio orgulloso de la matemática y mostraban la necesidad de buscar principios y métodos de corroboración que permitieran la revisión cuidadosa de cada resultado. La idea detrás del programa de Hilbert era que debía dotarse a toda la matemática de un conjunto de axiomas bien determinados, como los cinco postulados de Euclides, de manera que todo resultado que los matemáticos proclamasen como verdadero, utilizando cualquier método, pudiera corrobarse y reobtenerse a partir de estos axiomas por medio de un procedimiento puramente mecánico, en una sucesión finita de pasos. En una palabra, Hilbert procuraba identificar la noción de verdadero con la noción de demostrable, y así introduce una revisión de los 23 axiomas por 21, y se crea un sistema axiomático moderno en el que no son tomados como verdades evidentes, es decir que los elementos son independientes de su propia existencia teniendo en cuenta sus relaciones definidas y la congruencia entre pares de puntos y ángulos, unificando la geometría en dos y tres dimensiones. De este revisionismo euclideo nacerá la escuela Formalista, una de las tres escuelas matemáticas del siglo XX junto con el Logicismo y el Intuicionismo, y que propone que la Matemática es un juego carente de significado en el que uno juega con símbolos carentes de significado de acuerdo a unas reglas formales establecidas de antemano. Por tanto es una actividad de pensamiento autónoma y libre de contradicciones. Sin embargo, existe un amplio margen de duda al respecto sobre si la propia visión de Hilbert era simplistamente formalista en este sentido.
En 1930 Kurt Gödel mostró que exactamente lo mismo ocurre en la Matemática. Su teorema de incompletitud dio por tierra con el programa de Hilbert al revelar que aún en el fragmento elemental de la aritmética (los números naturales, con la suma y la multiplicación) es imposible dar una cantidad finita de postulados, a la manera de Euclides, que permitan reobtener como teoremas todos los enunciados verdaderos. Es decir, la aritmética, a diferencia de la geometría clásica, es irreductible a un tratamiento axiomático.
El teorema de Gödel, convertido en objeto de culto a la lógica de los psicólogos lacanianos, debe verse como un resultado sobre la limitación de los métodos formales axiomáticos, y en general, como un resultado sobre la limitación del lenguaje. Desde el punto de vista de la matemática dice que hay más complejidad en el mundo de los objetos matemáticos de la que pueden dar cuenta los métodos finitistas de demostración. Dice también que la inteligencia y el discernimiento humano es irremplazable: no puede modelarse un ordenador que arroje todos los enunciados verdaderos sobre los números naturales. El factor humano resulta insustituible para interpretar y asignar sentido.
A la vez, el resultado de Gödel pone por primera vez en crisis la estética simplicidad-alcance profundamente asimilada a partir de Euclides en el pensamiento matemático: la aritmética, y muchos otros fragmentos de la matemática, no pueden axiomatizarse sin perder en el camino una parte de su alcance.
Por lo tanto podemos decir que los fundamentos de las matemáticas, vistos desde el logicismo, el intuicionismo y el formalismo tienen su fundamento en la filosofía, ya que ésta, esuna búsqueda sin término del verdadero conocimiento de la realidad. La filosofía es verdadero amor por la sabiduría y su lenguaje hace de las definiciones, conceptos de amplia visión.
Según Willard Van Orman Quine (1908-2000) filósofo nacido en Akron, Ohio, y reconocido por la contribución de trabajos a la lógica matemática y al pragmatismo como teoría de conocimiento, las raíces filosóficas que se asocian a cada una de las escuelas que intentaron dotar de fundamentos sólidos a las matemáticas son:
El logicismo que se asocia con la escuela filosófica denominada realismo, la cual nos permite aceptar muchas más entidades abstractas en matemáticas, tales como: números, funciones, conjuntos, etc, ya que sostiene que las entidades abstractas tienen una existencia independiente de la mente humana La mente puede describirlas pero no crearlas.
El intuicionismo, asociado con la escuela filosófica llamada conceptualismo. Esta escuela filosófica afirma que las entidades abstractas no tienen existencia en el inundo externo, sólo existen en la medida en que sean construidas por la mente humana.
Y por último, el formalismo que se relaciona con la corriente filosófica llamada nominalismo. Esta corriente sostiene que las entidades abstractas no tienen existencia de ninguna especie, ni fuera de la mente humana, como sostiene el realismo, ni como construcciones mentales en la mente humana, según la apreciación del conceptualismo. Para el nominalismo, las entidades abstractas son meras exclamaciones vocales o líneas escritas, sólo son nombres. De allí el término nominalismo, del latín "nominalis" que significa "perteneciente a un nombre".
domingo, 1 de abril de 2012
Paradojas y Conjuntos Subversivos
En Alemania, durante el siglo XIX, se perfiló la Teoría de Conjuntos a través de los estudios y conjeturas de Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind. La representación de los mismos mediante diagramas fue ideada por el filósofo inglés John Venn, también en el siglo XIX. Curiosa coincidencia de lugares y fechas pues se encuentran paralelas a las teorías de Marx y Engels y, de alguna forma, son una representación científica de las mismas.
Proposiciones, axiomas y propiedades tales como: Subconjuntos y Superconjuntos, Igualdad, Conjuntos Vacíos, Unión, Intersección, Partición, Diferencia, Complemento, Propiedad Idempotente, Conmutativa, Asociativa, Distributiva o Complementariedad son igualmente válidos para el desarrollo de teorías económico-sociales como el Comunismo, como para el desarrollo de la pura abstracción Matemática.
Pero, como en toda teoría el factor humano se hace presente y éste siempre se caracteriza por la paradoja. Paradoja viene de paradoxon del griego παράδοξος, también concocida como aporética, cuyo origen es aporía del griego ἀπορία: "diificultad de pasar", y que expresa o contiene una inviabilidad de orden racional.
Paradójico es tanto aquello que encierra contradicción como lo que va en contra de la opinión común. Lo inverosímil, lo absurdo, y también lo extraño, opuesto e inesperado.
Tampoco la Matemática se encuentra exenta de paradojas como demostró Bertrand Russell en 1901, cuando trabajaba en su obra conjunta junto a Alfred North Whitehead "Principia Mathematica", con su paradoja del barbero:
"El único barbero de la ciudad dice que afeitará a todos aquellos que no se afeiten a sí mismos."
Pregunta: ¿quién afeitará al barbero? Si no se afeita a sí mismo será una de las personas de la ciudad que no se afeitan a sí mismas, con lo cual debería de afeitarse, siendo por tanto una de las personas que se afeitan a sí mismas, no debiendo por tanto afeitarse."
Es decir que los conjuntos parecen ser de dos tipos: los que se contienen a sí mismos como miembros y los que no. Un ejemplo de los primeros sería el conjunto de las cosas pensables, pues a su vez es una cosa pensable. Un ejemplo de los segundos sería el conjunto de los matemáticos, pues el conjunto en sí no es un matemático y, por tanto, no pertenece al conjunto como miembro.
Consideremos ahora el conjunto todos los conjuntos que no se contiene a sí mismos como miembro. Llamémosle T. ¿está T contenido en sí mismo como miembro? Si lo está, por definición no se contiene a sí mismo, luego no lo está. Pero si no lo está, por definición, debe estar.
Otra paradoja famosa es la de Aquiles y La Tortuga creada por Zenón de Elea, que vivió aproximadamente entre el año 490 hasta el 430 a.n.e, como apoyo a la doctrinas de Parménides:
"Aquiles, llamado "el de los pies ligeros" y el más hábil guerrero de los Aqueos, quien mató a Héctor, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él."
Y no obstante esa paradoja es falsa pues, además de no contar con el factor tiempo, una suma de infinitos términos puede dar lugar a un resultado finito como demostraría James Gregory, matemático y astrónomo escocés del siglo XVII.
¿El conjunto vacío existe como cero o cero es nada, luego no es un conjunto? ¿o es cero porque puede tender a infinito? ¿Es cero el hombre porque sueña tender a infinito? ¿Es todo número cero ante el infinito?
¿Es la Ciencia altamente subversiva o lo es la paradoja?
http://www.epdlp.com/escritor.php?id=2245
Proposiciones, axiomas y propiedades tales como: Subconjuntos y Superconjuntos, Igualdad, Conjuntos Vacíos, Unión, Intersección, Partición, Diferencia, Complemento, Propiedad Idempotente, Conmutativa, Asociativa, Distributiva o Complementariedad son igualmente válidos para el desarrollo de teorías económico-sociales como el Comunismo, como para el desarrollo de la pura abstracción Matemática.
Pero, como en toda teoría el factor humano se hace presente y éste siempre se caracteriza por la paradoja. Paradoja viene de paradoxon del griego παράδοξος, también concocida como aporética, cuyo origen es aporía del griego ἀπορία: "diificultad de pasar", y que expresa o contiene una inviabilidad de orden racional.
Paradójico es tanto aquello que encierra contradicción como lo que va en contra de la opinión común. Lo inverosímil, lo absurdo, y también lo extraño, opuesto e inesperado.
Tampoco la Matemática se encuentra exenta de paradojas como demostró Bertrand Russell en 1901, cuando trabajaba en su obra conjunta junto a Alfred North Whitehead "Principia Mathematica", con su paradoja del barbero:
"El único barbero de la ciudad dice que afeitará a todos aquellos que no se afeiten a sí mismos."
Pregunta: ¿quién afeitará al barbero? Si no se afeita a sí mismo será una de las personas de la ciudad que no se afeitan a sí mismas, con lo cual debería de afeitarse, siendo por tanto una de las personas que se afeitan a sí mismas, no debiendo por tanto afeitarse."
Es decir que los conjuntos parecen ser de dos tipos: los que se contienen a sí mismos como miembros y los que no. Un ejemplo de los primeros sería el conjunto de las cosas pensables, pues a su vez es una cosa pensable. Un ejemplo de los segundos sería el conjunto de los matemáticos, pues el conjunto en sí no es un matemático y, por tanto, no pertenece al conjunto como miembro.
Consideremos ahora el conjunto todos los conjuntos que no se contiene a sí mismos como miembro. Llamémosle T. ¿está T contenido en sí mismo como miembro? Si lo está, por definición no se contiene a sí mismo, luego no lo está. Pero si no lo está, por definición, debe estar.
Otra paradoja famosa es la de Aquiles y La Tortuga creada por Zenón de Elea, que vivió aproximadamente entre el año 490 hasta el 430 a.n.e, como apoyo a la doctrinas de Parménides:
"Aquiles, llamado "el de los pies ligeros" y el más hábil guerrero de los Aqueos, quien mató a Héctor, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él."
Y no obstante esa paradoja es falsa pues, además de no contar con el factor tiempo, una suma de infinitos términos puede dar lugar a un resultado finito como demostraría James Gregory, matemático y astrónomo escocés del siglo XVII.
¿El conjunto vacío existe como cero o cero es nada, luego no es un conjunto? ¿o es cero porque puede tender a infinito? ¿Es cero el hombre porque sueña tender a infinito? ¿Es todo número cero ante el infinito?
¿Es la Ciencia altamente subversiva o lo es la paradoja?
http://www.epdlp.com/escritor.php?id=2245
miércoles, 14 de marzo de 2012
Matemática y Astronomía: Hypatia de Alejandría, la Filósofa
Filósofa neoplatónica que vivió entre los siglos IV y V, musicóloga, médico, matemática, física, madre de la ciencia experimental (estudió y construyó el astrolabio, el hidroscopio y el aerómetro).
El nombre de Hypatia significa la más grande. La leyenda de Hypatia de Alejandría nos habla de una joven, virgen y bella, matemática y filósofa, cuya muerte violenta marca un punto de inflexión entre la cultura del razonamiento griego y el oscurantismo del mundo medieval. Como ocurre con todas las biografías de los matemáticos de la antigüedad, poco se conoce de su vida, y de su obra apenas una pequeña parte.
No se conoce la fecha exacta del nacimiento de Hypatia y se barajan tres posibles opciones, todas ellas aproximadas, según se estime que en el momento de su muerte fuese una mujer mayor, madura o joven. Entre los diversos autores se barajan distintas teorías. Así, Dzielska, encuentra razonables los argumentos de Malalas, autor bizantino del siglo VI, que considera que Hypatia era en la época de su muerte una mujer mayor lo que situaría su nacimiento hacia el 350 o 355. Un argumento a favor de esa fecha es que su discípulo Sinesio, que recibió lecciones hacia el 393 con unos veinte años, y que le escribió cartas mostrándole su gran admiración hacia su ella, por lo que resulta difícil imaginar que hubieran tenido una edad parecida. Por otro lado, Waithe recoge de Hoche, autor del siglo XIX, como fecha probable el año 375 o el 370 pues en la época de su muerte se habla de ella como de una mujer bella, y considera que ese calificativo no tendría lugar si hubiera tenido más de 40 años. Considera que Hypatia fue directora de la Escuela Neoplatónica con 25 o 30 años, y que Sinesio tendría sólo cinco años menos que ella. Kingsley considera la fecha del 390 pues estima que murió joven.
Teón, padre de Hypatia, fue maestro de Matemáticas y Astronomía y conocido por sus comentarios a Los Elementos de Euclides, el Almagesto y Las Tablas de Tolomeo, trabajos en colaboración con su hija. Supervisó la educación de Hypatia y, con un espíritu especialmente abierto para su época, permitió que desarrollara sus excepcionales dotes y se convirtiera en una astrónoma, filósofa y matemática, buscando que llegará a ser un ser humano perfecto por lo que vigiló tanto la educación de su mente como de su cuerpo. Tal entrenamiento consiguió sus objetivos pues la belleza de Hypatia y su talento fueran legendarios. Se dice que Hypatia fue superior a su padre, especialmente en la observación de los astros.
Teón fue uno de los últimos miembros del Museo, institución de educación avanzada que había sido creada en Alejandría alrededor del 300 a.n.e. por Ptolomeo I Sóter y origen de su reconocida Biblioteca. En los setecientos años de su existencia la Escuela alejandrina había alcanzado cotas tan elevadas en el campo científico que habría sido suficiente dejar con vida y libertad a Hipatia y a sus discípulos para, con sus estudios, asegurar otros 1200 años de progreso.
Tras su formación en Filosofía y Matemáticas con los profesores del Museo, Hypatia viajó por Italia y Atenas. Probablemente en Atenas siguió los cursos de la Escuela Filosófica dirigida por Temistius, Plutarco el Joven y por su hija Asclepigenia. Se dedicó, al volver a Alejandría y ocupar la cátedra de Filosofía de Plotino, alrededor del año 400, pese a que la existencia de obras estrictamente filosóficas creadas por ella es desconocido. De hecho, su filosofía era más académica y científica en su interés y menos mística que el platonismo intransigente de otras escuelas neoplatónicas.
Respetada como eminente y carismática profesora, las enseñanzas de Hypatia corresponderían a explicar las doctrinas de Plotino y de Jámblico (250-330), fundador de la rama siria del neoplatonismo y con una estrecha relación con el neopitagorismo. En esta tradición las matemáticas formaban parte de la formación filosófica.
De su cátedra recibió el sobrenombre de la Filósofa, y se dedicó a enseñar Matemáticas, Astronomía, Filosofía y Mecánica a personas de todas las religiones, siendo bien considerada tanto en la comunidad cristiana como en la suya propia. Su casa se convirtió en un centro intelectual.. Estudiantes de Europa, Asia y África acudían a escuchar sus enseñanzas sobre la Aritmética de Diofanto. Entre ellos se encontraba Sinesio de Cirene, más tarde obispo de Tolemaida (c. 410), de cuya correspondencia con ella aún existen algunas cartas.
También fue amiga y consejera de Orestes, prefecto del Imperio Romano de Oriente.
Según la Enciclopedia Suda, enciclopedia bizantina del siglo X, Hypatia escribió comentarios sobre la Aritmética de Diofanto de Alejandría, en las Cónicas de Apolonio de Perga, y en un canon astronómico (presumiblemente el Almagesto de Ptolomeo). Teón, padre de Hypatia, revisó el libro III de su comentario sobre el Almagesto. Todas estas obras se han perdido, aunque algunos pueden sobrevivir como parte de las versiones existentes en árabe de la Aritmética. Los títulos conocidos de sus obras, junto con las cartas de Sinesio que consultó a ella sobre la construcción de un astrolabio y un hidroscopio (identificado en el siglo XVII por Pierre de Fermat como un hidrómetro), indican que se dedicó especialmente a la astronomía y las matemáticas. Se cree que publicó “Tablas Astronómicas” relacionado con la construcción de astrolabios, pero su obra más importante “De las Cónicas” desarrolló altos conocimientos de Álgebra y Trigonometría que tardarían siglos en ser superados, concretamente el estudio de las cónicas no fue reivindicado hasta el siglo XVII, durante el periodo de la Ilustración.
Sin embargo, sobre Hypatia y sobre toda la humanidad se abatió la irracionalidad: el creciente poder de la Iglesia católica y su pacto de sangre con un imperio romano en decadencia. La supresión del paganismo, la liquidación de las bibliotecas, del saber y de los sabios, la anulación del librepensamiento, de la investigación científica (de hecho, los Concilios de Cartago prohibieron, incluso a los obispos, estudiar a Aristóteles, Platón, Euclides, Tolomeo, Pitágoras, etc.). La prohibición del acceso a la mujer a todo conocimiento para ser sometida. En pocos decenios se consiguió llevar a cabo la casi totalidad del proyecto. Pero Ambrosio, Juan Crisóstomo, Agustín y Cirilo, los gigantes del naciente imperio de la Iglesia, toparon en su camino, cimentado de hogueras y regado de sangre, un último escollo: una mujer que dirigía la Escuela alejandrina, una sabia de rectitud moral inquebrantable que, al término de una jornada de investigación y estudio, se echaba sobre los hombros el tribon, el manto de los filósofos, y deambulaba por Alejandría para explicar a sus habitantes el significado de la libertad de pensamiento, del uso de la razón.
Cirilo, obispo y nuevo patriarca de Alejandría a la muerte de su tío Teófilo que había sido el anterior, urdió el asesinato de Hypatia. En la cuaresma del año 415 de nada sirvió la voz aislada del prefecto imperial Orestes, que, inútilmente, intentó defender y salvar a esta mujer de ciencia. Llegado a Alejandría, antes de visitar al magister militiae y a las demás autoridades, incluso antes de obsequiar al obispo Cirilo, Orestes se dirigió a rendir homenaje a Hypatia. Ella le hizo ver que, en realidad, no podía definirse como "pagana", porque "cualquier religión, cualquier dogma, es un freno para la libertad de investigación y puede convertirse en una prisión que impida indagar libremente sobre el origen de la vida y el destino del hombre". Hipatia le refirió cómo, tras el incendio de la Biblioteca, el prefecto imperial Evagrio le había propuesto que se convirtiera al cristianismo, a cambio de mayores subvenciones para su escuela, y cómo ella se había negado diciéndole: "Si me dejo comprar, perderé mi libertad. Y no podré seguir estudiando. Así es como funciona una mente libre: incluso ésta tiene sus reglas".
Hypatia simbolizaba el aprendizaje y la ciencia, que en ese momento de la historia occidental fueron precisamente identificados como paganismo. Sus propias palabras colocaron a Hypatia en una situación sumamente precaria. En declaraciones conservadas, el obispo Cirilo, la acusó, en efecto, de: "reserva su derecho a pensar, porque incluso pensar erróneamente es mejor que no pensar en nada" y "Enseñar supersticiones como verdad es una cosa terrible", pensamientos tan indignos y subversivos a juicio de Cirilo, obispo de Alejandría, que espoleó a la multitud cristiana contra Hypatia acusándola de pagana, impía y bruja. Los asesinos eran Parabolanos, monjes fanáticos de la iglesia de San Cirilo de Jerusalén, quizá ayudados por monjes nitrios. No se sabe si Cirilo ordenó directamente el asesinato, pero por lo menos creó el clima político que hizo posible tan atroces hechos. Más tarde Cirilo fue canonizado. Fue apresada y conducida al Cesáreo por los Parabolanos, el ejercito privado y fuerza de choque del propio obispo Cirilo.
Como drástica solución a un problema moral, ya que al ser virgen no podía ser asesinada, fue violada, desgarrada, descuartizada y quemada por los propios Parabolanos.
El asesinato de Hypatia está descrito en la obra de un historiador cristiano del siglo V, Sócrates el Escolástico:
"Todos los hombres la reverenciaban y admiraban por la singular modestia de su mente. Por lo cual había gran rencor y envidia en su contra, y porque conversaba a menudo con Orestes, y se contaba entre sus familiares, la gente la acusó de ser la causa de que Orestes y el obispo no se habían hecho amigos. Para decirlo en pocas palabras, algunos atolondrados, impetuosos y violentos cuyo capitán y guía era Pedro, un lector de esa iglesia, vieron a esa mujer cuando regresaba a su casa desde algún lado, la arrancaron de su carruaje; la arrastraron a la iglesia llamada Cesárea; la dejaron totalmente desnuda; le tasajearon la piel y las carnes con caracoles afilados, hasta que el aliento dejó su cuerpo; descuartizan su cuerpo; llevan los pedazos a un lugar llamado Cinaron y los queman hasta convertirlos en cenizas".
Los hechos ocurrieron en la cuaresma del año 415 y justo un siglo después de que los paganos hubieran asesinado a Catalina, una erudita alejandrina cristiana.
Orestes informó del asesinato y solicitó a Roma que se iniciara una investigación. Luego renunció a su puesto y huyó de Alejandría. La investigación se pospuso repetidas veces por "falta de testigos" y más tarde Cirilo llegó a proclamar que se encontraba viva en Atenas. El brutal asesinato de Hypatia marcó el final de la enseñanza platónica en Alejandría y en todo el Imperio romano.
El edicto promulgado en el año 391 por emperador Teodosio, el Grande. Teodosio I, emperador romano de Oriente entre los años 379 a 392 y más tarde emperador, tanto en el Este y el Oeste hasta 395, inició una política oficial de la intolerancia al paganismo y el arrianismo en 380. En el año 391, en respuesta a Teófilo, anterior obispo de Alejandría y tío de Cirilo, le dio permiso para destruir las instituciones religiosas de Egipto.
Pese a que la legislación del año 393 trataba de frenar la violencia, en particular el saqueo y la destrucción de las sinagogas judías, se renovaron los disturbios tras la adhesión de Cirilo al Patriarcado de Alejandría en el 412. Sucesivas algaradas sacudieron Alejandría en esta época, la cual ya era conocida en la antigüedad por la naturaleza levantisca y pendenciera de sus habitantes La tensión culminó con la forzosa, aunque ilegal, expulsión de los Judíos de Alejandría en el año 414. De este periodo están documentadas decenas de revueltas contra diversas autoridades o grupos, ya fueran paganos, judíos, cristianos, etc. como las que provocaron la muerte a dos obispos cristianos, Jorge y Proterio, en los años 361 y 457 respectivamente, o la del mismo Prefecto imperial Orestes en el año 422.
Turbas cristianas exaltadas provocaron el saqueo de la Biblioteca de Alejandría, entonces llamada Hija del Serapeo y sucesora de la Gran Biblioteca, así otros monumentos paganos con la consiguiente e irreparable desaparición de casi todo el conocimiento y obras hasta entonces abarcados.
Poco después de la salida de muchos estudiosos comenzó el comienzo del declive de Alejandría como uno de los más importantes centros de aprendizaje antiguo.
Cirilo fue una figura de relieve por el desarrollo teológico de sus escritos, en especial por su defensa de la unión entre la divinidad y la humanidad de Jesús, frente a las tesis de Nestorio, que en el año 428 ascendió a la sede de Constantinopla. Cirilo aprovechó el error dogmático de Nestorio para deponerlo de su sede. En el Concilio de Éfeso (431), convocado por el emperador Teodosio II.
Al contrario de los anteriores concilios cuyas cuestiones teológicas se referían principalmente a la unicidad de Dios, el concilio de Éfeso supuso un cambio de dirección, pues se debatió sobre la naturaleza de Cristo dada la negación de los nestorianos a la unicidad de la naturaleza de Cristo y considerar que sus naturalezas, divina y humana, se encontraban separadas, prevaleciendo la naturaleza humana sobre la divina, por lo que María no debía ser considerada Madre de Dios (Theotókos), sino sólo "Madre de Cristo" (Khristotokos, ya que había dado a luz a un hombre en que la divinidad había ido a habitar.
Cirilo abrió las sesiones con 154 obispos de su partido sin esperar a que llegaran los obispos antioquenos, sirviéndose de cuantiosísimos sobornos durante todo el proceso. Sus regalos fueron tan abrumadores que, de hecho, logró que el emperador Teodosio II, en principio contrario al patriarca alejandrino, cambiara de parecer, y acabara por deponer y desterrar a su rival dogmático.
Sus numerosas obras están recopiladas en 10 tomos de la Patrologia Graeca de Migne. Aún cuando no se opuso abiertamente a las decisiones del concilio de Nicea, tampoco era proclive al uso de la terminología admitida en ese sínodo debido, según afirmaba, a que se trataba de expresiones que no están contenidas en la Biblia y pertenecen más bien a la filosofía griega. Venerado como santo tanto en Oriente como en Occidente, en 1882 san Cirilo fue proclamado doctor de la Iglesia por el Papa León XIII, quien al mismo tiempo atribuyó el mismo título a otro importante exponente de la patrística griega, san Cirilo de Jerusalén. Murió en el año 444.
En cuanto a la obra de Hypatia y todas aquellas conservadas en la Biblioteca, en el año 416, el teólogo e historiador hispanorromano Paulo Orosio hablaba con tristeza de los restos de la Biblioteca Hija del Serapeo, confirmando que “sus armarios vacíos... fueron saqueados por hombres de nuestro tiempo”; aunque otras fuentes incluso en el siglo VI, resultan contradictorias con la posibilidad de que su contenido fuera destruido en los tiempos de Teófilo, ya que indican que la Biblioteca sobrevivió hasta dicha centuria. Así, el filósofo alejandrino Ammonio de Hermia (440-520) llega a describir la Biblioteca y los libros que contenía, recogiendo, por ejemplo, que custodiaba dos copias de las Categorías de Aristóteles, arrojando serias dudas sobre la tesis de que desapareciera en la época cristiana.
Bibliografía:
Charles Kingsley "Hypatia: nuevos enemigos con una cara vieja" (1852).
María Dzielska, "Hypatia de Alejandría" (1995)
MacTutor History of Mathematics - Biografía de Hypatia de Alejandría
El nombre de Hypatia significa la más grande. La leyenda de Hypatia de Alejandría nos habla de una joven, virgen y bella, matemática y filósofa, cuya muerte violenta marca un punto de inflexión entre la cultura del razonamiento griego y el oscurantismo del mundo medieval. Como ocurre con todas las biografías de los matemáticos de la antigüedad, poco se conoce de su vida, y de su obra apenas una pequeña parte.
No se conoce la fecha exacta del nacimiento de Hypatia y se barajan tres posibles opciones, todas ellas aproximadas, según se estime que en el momento de su muerte fuese una mujer mayor, madura o joven. Entre los diversos autores se barajan distintas teorías. Así, Dzielska, encuentra razonables los argumentos de Malalas, autor bizantino del siglo VI, que considera que Hypatia era en la época de su muerte una mujer mayor lo que situaría su nacimiento hacia el 350 o 355. Un argumento a favor de esa fecha es que su discípulo Sinesio, que recibió lecciones hacia el 393 con unos veinte años, y que le escribió cartas mostrándole su gran admiración hacia su ella, por lo que resulta difícil imaginar que hubieran tenido una edad parecida. Por otro lado, Waithe recoge de Hoche, autor del siglo XIX, como fecha probable el año 375 o el 370 pues en la época de su muerte se habla de ella como de una mujer bella, y considera que ese calificativo no tendría lugar si hubiera tenido más de 40 años. Considera que Hypatia fue directora de la Escuela Neoplatónica con 25 o 30 años, y que Sinesio tendría sólo cinco años menos que ella. Kingsley considera la fecha del 390 pues estima que murió joven.
Teón, padre de Hypatia, fue maestro de Matemáticas y Astronomía y conocido por sus comentarios a Los Elementos de Euclides, el Almagesto y Las Tablas de Tolomeo, trabajos en colaboración con su hija. Supervisó la educación de Hypatia y, con un espíritu especialmente abierto para su época, permitió que desarrollara sus excepcionales dotes y se convirtiera en una astrónoma, filósofa y matemática, buscando que llegará a ser un ser humano perfecto por lo que vigiló tanto la educación de su mente como de su cuerpo. Tal entrenamiento consiguió sus objetivos pues la belleza de Hypatia y su talento fueran legendarios. Se dice que Hypatia fue superior a su padre, especialmente en la observación de los astros.
Teón fue uno de los últimos miembros del Museo, institución de educación avanzada que había sido creada en Alejandría alrededor del 300 a.n.e. por Ptolomeo I Sóter y origen de su reconocida Biblioteca. En los setecientos años de su existencia la Escuela alejandrina había alcanzado cotas tan elevadas en el campo científico que habría sido suficiente dejar con vida y libertad a Hipatia y a sus discípulos para, con sus estudios, asegurar otros 1200 años de progreso.
Tras su formación en Filosofía y Matemáticas con los profesores del Museo, Hypatia viajó por Italia y Atenas. Probablemente en Atenas siguió los cursos de la Escuela Filosófica dirigida por Temistius, Plutarco el Joven y por su hija Asclepigenia. Se dedicó, al volver a Alejandría y ocupar la cátedra de Filosofía de Plotino, alrededor del año 400, pese a que la existencia de obras estrictamente filosóficas creadas por ella es desconocido. De hecho, su filosofía era más académica y científica en su interés y menos mística que el platonismo intransigente de otras escuelas neoplatónicas.
Respetada como eminente y carismática profesora, las enseñanzas de Hypatia corresponderían a explicar las doctrinas de Plotino y de Jámblico (250-330), fundador de la rama siria del neoplatonismo y con una estrecha relación con el neopitagorismo. En esta tradición las matemáticas formaban parte de la formación filosófica.
De su cátedra recibió el sobrenombre de la Filósofa, y se dedicó a enseñar Matemáticas, Astronomía, Filosofía y Mecánica a personas de todas las religiones, siendo bien considerada tanto en la comunidad cristiana como en la suya propia. Su casa se convirtió en un centro intelectual.. Estudiantes de Europa, Asia y África acudían a escuchar sus enseñanzas sobre la Aritmética de Diofanto. Entre ellos se encontraba Sinesio de Cirene, más tarde obispo de Tolemaida (c. 410), de cuya correspondencia con ella aún existen algunas cartas.
También fue amiga y consejera de Orestes, prefecto del Imperio Romano de Oriente.
Según la Enciclopedia Suda, enciclopedia bizantina del siglo X, Hypatia escribió comentarios sobre la Aritmética de Diofanto de Alejandría, en las Cónicas de Apolonio de Perga, y en un canon astronómico (presumiblemente el Almagesto de Ptolomeo). Teón, padre de Hypatia, revisó el libro III de su comentario sobre el Almagesto. Todas estas obras se han perdido, aunque algunos pueden sobrevivir como parte de las versiones existentes en árabe de la Aritmética. Los títulos conocidos de sus obras, junto con las cartas de Sinesio que consultó a ella sobre la construcción de un astrolabio y un hidroscopio (identificado en el siglo XVII por Pierre de Fermat como un hidrómetro), indican que se dedicó especialmente a la astronomía y las matemáticas. Se cree que publicó “Tablas Astronómicas” relacionado con la construcción de astrolabios, pero su obra más importante “De las Cónicas” desarrolló altos conocimientos de Álgebra y Trigonometría que tardarían siglos en ser superados, concretamente el estudio de las cónicas no fue reivindicado hasta el siglo XVII, durante el periodo de la Ilustración.
Sin embargo, sobre Hypatia y sobre toda la humanidad se abatió la irracionalidad: el creciente poder de la Iglesia católica y su pacto de sangre con un imperio romano en decadencia. La supresión del paganismo, la liquidación de las bibliotecas, del saber y de los sabios, la anulación del librepensamiento, de la investigación científica (de hecho, los Concilios de Cartago prohibieron, incluso a los obispos, estudiar a Aristóteles, Platón, Euclides, Tolomeo, Pitágoras, etc.). La prohibición del acceso a la mujer a todo conocimiento para ser sometida. En pocos decenios se consiguió llevar a cabo la casi totalidad del proyecto. Pero Ambrosio, Juan Crisóstomo, Agustín y Cirilo, los gigantes del naciente imperio de la Iglesia, toparon en su camino, cimentado de hogueras y regado de sangre, un último escollo: una mujer que dirigía la Escuela alejandrina, una sabia de rectitud moral inquebrantable que, al término de una jornada de investigación y estudio, se echaba sobre los hombros el tribon, el manto de los filósofos, y deambulaba por Alejandría para explicar a sus habitantes el significado de la libertad de pensamiento, del uso de la razón.
Cirilo, obispo y nuevo patriarca de Alejandría a la muerte de su tío Teófilo que había sido el anterior, urdió el asesinato de Hypatia. En la cuaresma del año 415 de nada sirvió la voz aislada del prefecto imperial Orestes, que, inútilmente, intentó defender y salvar a esta mujer de ciencia. Llegado a Alejandría, antes de visitar al magister militiae y a las demás autoridades, incluso antes de obsequiar al obispo Cirilo, Orestes se dirigió a rendir homenaje a Hypatia. Ella le hizo ver que, en realidad, no podía definirse como "pagana", porque "cualquier religión, cualquier dogma, es un freno para la libertad de investigación y puede convertirse en una prisión que impida indagar libremente sobre el origen de la vida y el destino del hombre". Hipatia le refirió cómo, tras el incendio de la Biblioteca, el prefecto imperial Evagrio le había propuesto que se convirtiera al cristianismo, a cambio de mayores subvenciones para su escuela, y cómo ella se había negado diciéndole: "Si me dejo comprar, perderé mi libertad. Y no podré seguir estudiando. Así es como funciona una mente libre: incluso ésta tiene sus reglas".
Hypatia simbolizaba el aprendizaje y la ciencia, que en ese momento de la historia occidental fueron precisamente identificados como paganismo. Sus propias palabras colocaron a Hypatia en una situación sumamente precaria. En declaraciones conservadas, el obispo Cirilo, la acusó, en efecto, de: "reserva su derecho a pensar, porque incluso pensar erróneamente es mejor que no pensar en nada" y "Enseñar supersticiones como verdad es una cosa terrible", pensamientos tan indignos y subversivos a juicio de Cirilo, obispo de Alejandría, que espoleó a la multitud cristiana contra Hypatia acusándola de pagana, impía y bruja. Los asesinos eran Parabolanos, monjes fanáticos de la iglesia de San Cirilo de Jerusalén, quizá ayudados por monjes nitrios. No se sabe si Cirilo ordenó directamente el asesinato, pero por lo menos creó el clima político que hizo posible tan atroces hechos. Más tarde Cirilo fue canonizado. Fue apresada y conducida al Cesáreo por los Parabolanos, el ejercito privado y fuerza de choque del propio obispo Cirilo.
Como drástica solución a un problema moral, ya que al ser virgen no podía ser asesinada, fue violada, desgarrada, descuartizada y quemada por los propios Parabolanos.
El asesinato de Hypatia está descrito en la obra de un historiador cristiano del siglo V, Sócrates el Escolástico:
"Todos los hombres la reverenciaban y admiraban por la singular modestia de su mente. Por lo cual había gran rencor y envidia en su contra, y porque conversaba a menudo con Orestes, y se contaba entre sus familiares, la gente la acusó de ser la causa de que Orestes y el obispo no se habían hecho amigos. Para decirlo en pocas palabras, algunos atolondrados, impetuosos y violentos cuyo capitán y guía era Pedro, un lector de esa iglesia, vieron a esa mujer cuando regresaba a su casa desde algún lado, la arrancaron de su carruaje; la arrastraron a la iglesia llamada Cesárea; la dejaron totalmente desnuda; le tasajearon la piel y las carnes con caracoles afilados, hasta que el aliento dejó su cuerpo; descuartizan su cuerpo; llevan los pedazos a un lugar llamado Cinaron y los queman hasta convertirlos en cenizas".
Los hechos ocurrieron en la cuaresma del año 415 y justo un siglo después de que los paganos hubieran asesinado a Catalina, una erudita alejandrina cristiana.
Orestes informó del asesinato y solicitó a Roma que se iniciara una investigación. Luego renunció a su puesto y huyó de Alejandría. La investigación se pospuso repetidas veces por "falta de testigos" y más tarde Cirilo llegó a proclamar que se encontraba viva en Atenas. El brutal asesinato de Hypatia marcó el final de la enseñanza platónica en Alejandría y en todo el Imperio romano.
El edicto promulgado en el año 391 por emperador Teodosio, el Grande. Teodosio I, emperador romano de Oriente entre los años 379 a 392 y más tarde emperador, tanto en el Este y el Oeste hasta 395, inició una política oficial de la intolerancia al paganismo y el arrianismo en 380. En el año 391, en respuesta a Teófilo, anterior obispo de Alejandría y tío de Cirilo, le dio permiso para destruir las instituciones religiosas de Egipto.
Pese a que la legislación del año 393 trataba de frenar la violencia, en particular el saqueo y la destrucción de las sinagogas judías, se renovaron los disturbios tras la adhesión de Cirilo al Patriarcado de Alejandría en el 412. Sucesivas algaradas sacudieron Alejandría en esta época, la cual ya era conocida en la antigüedad por la naturaleza levantisca y pendenciera de sus habitantes La tensión culminó con la forzosa, aunque ilegal, expulsión de los Judíos de Alejandría en el año 414. De este periodo están documentadas decenas de revueltas contra diversas autoridades o grupos, ya fueran paganos, judíos, cristianos, etc. como las que provocaron la muerte a dos obispos cristianos, Jorge y Proterio, en los años 361 y 457 respectivamente, o la del mismo Prefecto imperial Orestes en el año 422.
Turbas cristianas exaltadas provocaron el saqueo de la Biblioteca de Alejandría, entonces llamada Hija del Serapeo y sucesora de la Gran Biblioteca, así otros monumentos paganos con la consiguiente e irreparable desaparición de casi todo el conocimiento y obras hasta entonces abarcados.
Poco después de la salida de muchos estudiosos comenzó el comienzo del declive de Alejandría como uno de los más importantes centros de aprendizaje antiguo.
Cirilo fue una figura de relieve por el desarrollo teológico de sus escritos, en especial por su defensa de la unión entre la divinidad y la humanidad de Jesús, frente a las tesis de Nestorio, que en el año 428 ascendió a la sede de Constantinopla. Cirilo aprovechó el error dogmático de Nestorio para deponerlo de su sede. En el Concilio de Éfeso (431), convocado por el emperador Teodosio II.
Al contrario de los anteriores concilios cuyas cuestiones teológicas se referían principalmente a la unicidad de Dios, el concilio de Éfeso supuso un cambio de dirección, pues se debatió sobre la naturaleza de Cristo dada la negación de los nestorianos a la unicidad de la naturaleza de Cristo y considerar que sus naturalezas, divina y humana, se encontraban separadas, prevaleciendo la naturaleza humana sobre la divina, por lo que María no debía ser considerada Madre de Dios (Theotókos), sino sólo "Madre de Cristo" (Khristotokos, ya que había dado a luz a un hombre en que la divinidad había ido a habitar.
Cirilo abrió las sesiones con 154 obispos de su partido sin esperar a que llegaran los obispos antioquenos, sirviéndose de cuantiosísimos sobornos durante todo el proceso. Sus regalos fueron tan abrumadores que, de hecho, logró que el emperador Teodosio II, en principio contrario al patriarca alejandrino, cambiara de parecer, y acabara por deponer y desterrar a su rival dogmático.
Sus numerosas obras están recopiladas en 10 tomos de la Patrologia Graeca de Migne. Aún cuando no se opuso abiertamente a las decisiones del concilio de Nicea, tampoco era proclive al uso de la terminología admitida en ese sínodo debido, según afirmaba, a que se trataba de expresiones que no están contenidas en la Biblia y pertenecen más bien a la filosofía griega. Venerado como santo tanto en Oriente como en Occidente, en 1882 san Cirilo fue proclamado doctor de la Iglesia por el Papa León XIII, quien al mismo tiempo atribuyó el mismo título a otro importante exponente de la patrística griega, san Cirilo de Jerusalén. Murió en el año 444.
En cuanto a la obra de Hypatia y todas aquellas conservadas en la Biblioteca, en el año 416, el teólogo e historiador hispanorromano Paulo Orosio hablaba con tristeza de los restos de la Biblioteca Hija del Serapeo, confirmando que “sus armarios vacíos... fueron saqueados por hombres de nuestro tiempo”; aunque otras fuentes incluso en el siglo VI, resultan contradictorias con la posibilidad de que su contenido fuera destruido en los tiempos de Teófilo, ya que indican que la Biblioteca sobrevivió hasta dicha centuria. Así, el filósofo alejandrino Ammonio de Hermia (440-520) llega a describir la Biblioteca y los libros que contenía, recogiendo, por ejemplo, que custodiaba dos copias de las Categorías de Aristóteles, arrojando serias dudas sobre la tesis de que desapareciera en la época cristiana.
Bibliografía:
Charles Kingsley "Hypatia: nuevos enemigos con una cara vieja" (1852).
María Dzielska, "Hypatia de Alejandría" (1995)
MacTutor History of Mathematics - Biografía de Hypatia de Alejandría
viernes, 9 de marzo de 2012
Metalógica: "Lo que la Tortuga le dijo a Aquiles" de Lewis Carroll
Aquiles había alcanzado a la tortuga y se había sentado cómodamente sobre su caparazón.
"¿De modo que ha llegado usted al final de nuestra carrera?" dijo la Tortuga. "¿Aún cuando consistía en una serie infinita de distancias? ¿Pensó que algún sabihondo había probado que la cuestión no podía ser realizada?"
"Sí puede ser realizada", dijo Aquiles. "¡Ella ha sido realizada! Solivitur ambulando. Usted ve, las distancias fueron disminuyendo constantemente y asi..."
"¿Pero si hubieran ido aumentando," interrumpió la tortuga, "entonces qué?"
"Entonces yo no debería estar aquí", replicó modestamente Aquiles; "y a estas alturas usted hubiera dado ya varias vueltas al mundo."
"Me aclama - aplana, quiero decir", dijo la Tortuga; "pues usted sí que es un peso pesado, ¡sin duda! Ahora bien, ¿le gustaría oir acerca de una carrera en la que la mayoría de la gente cree poder llegar con dos o tres pasos al final y que realmente consiste en un número infinito de distancias, cada una más larga que la distancia anterior?".
"¡Me encantaría, de veras!" dijo el guerrero griego mientras sacaba de su casco (pocos guerreros griegos poseían bolsillos en aquellos días) una enorme libreta de apuntes y un lápiz. "¡Empiece, y hable lentamente, por favor! ¡La taquigrafia aún no ha sido inventada!"
"¡El hermoso Primer Teorema de Euclides!", murmuró como en sueños la tortuga. "¿Admira usted a Euclides?"
"¡Apasionadamente! ¡Al menos, tanto como uno puede admirar un tratado que no será publicado hasta dentro de algunos siglos más!"
"Bien, en ese caso tomemos solo una pequeña parte del argumento de ese Primer Teorema: sólo dos pasos y la conclusión extraída de ellos. Tenga la bondad de registrarlos en su libreta. Y, a fin de referirnos a ellos convenientemente, llamémoslos A, B y Z.
(A) Dos cosas que son iguales a una tercera son iguales entre sí.
(B) Los dos lados de este triángulo son iguales a un tercero.
(Z) Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.
Los lectores de Euclides admitirán, supongo, que Z se sigue lógicamente de A y B, de modo que quien acepte A y B como verdaderas debe aceptar Z como verdadera, ¿no?"
"¡Sin duda! Hasta el más joven de los alumnos de una Escuela Superior -tan pronto como se inventen las Escuelas Superiores, cosa que no sucederá hasta dentro de dos mil años- admitirán eso."
"Y si algún lector no ha aceptado A y B como verdaderas, supongo que aún podría aceptar la secuencia como valida."
"Sin duda que podría existir un lector así. El podría decir 'Acepto como verdadera la Proposición Hipotética de que si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera, pero no acepto A y B como verdaderas'. Un lector así procedería sabiamente abandonando a Euclides y dedicándose al fútbol."
"¿Y no podría haber tambien algún lector que pudiera decir 'Acepto A y B como verdaderas, pero no acepto la Hipotética'?"
"Ciertamente podría haberlo. El, también, mejor se hubiera dedicado al fútbol."
"¿Y ninguno de estos lectores", continuó la Tortuga, "tiene hasta ahora alguna necesidad lógica de aceptar Z como verdadera?"
"Así es", asintió Aquiles.
"Ahora bien, quiero que Ud. me considere a mí como un lector del segundo tipo y que me fuerce, lógicamente, a aceptar Z como verdadera."
"Una Tortuga jugando al fútbol sería..." comenzó Aquiles.
"... Una anomalía, por supuesto", interrumpió airadamente la Tortuga. "¡No se desvíe del tema, Primero Z y después el fútbol!"
"¿Debo forzarlo a aceptar Z, o no?" preguntó Aquiles pensativamente. "Y su posición actual es que acepta A y B pero NO acepta la Hipotética..."
"Llamémosla C", dijo la tortuga; "pero no acepta que:
(C) Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera."
"Esa es mi posición actual", dijo la Tortuga.
"Entonces debo pedirle que acepte C."
"Lo hará así", dijo la Tortuga, "tan pronto como lo haya registrado en su libreta de Apuntes. ¿Qué más tiene anotado?"
"¡Sólo unos pocos apuntes" dijo Aquiles agitando nerviosamente las hojas; "unos pocos apuntes de las batallas en las que me he distinguido!"
"¡Veo que hay un montón de hojas en blanco!" observó jovialmente la Tortuga. "¡Las necesitaremos todas!" (Aquiles se estremeció) "Ahora escriba mientras dicto:
(A) Dos cosas que son iguales a una tercera son iguales entre sí.
(B) Los dos lados de este triángulo son iguales a un tercero.
(C) Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera.
(Z) Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí."
"Debería llamarla D, no Z", dijo Aquiles. "Viene después de las otras tres. Si acepta A y B y C, debe aceptar Z."
"¿Y por qué debo?"
"Porque se desprende lógicamente de ellas. Si A y B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera. No puede discutir eso, me imagino."
"Si A y B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera", repitió pensativamente la Tortuga. "¿Esa es otra Hipótesis, o no? Y, si no reconociera su veracidad, ¿podría aceptar A y B y C, y todavía no aceptar Z, o no?"
"Podría", admitió el cándido héroe, "aunque tal obstinación sería ciertamente fenomenal. Sin embargo, el evento es posible. De modo que debo pedirle que admita una Hipótesis más."
"Muy bien, estoy ansioso por admitirla, tan pronto como la haya anotado. La llamaremos 'D'. Si A y B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera. ¿Lo ha registrado en su libreta de apuntes?"
"¡Lo he hecho!" exclamó gozosamente Aquiles, mientras guardaba el lápiz en su estuche. "¡Y por fin hemos llegado al final de esta carrera ideal! Ahora que ha aceptado A y B y C y D, por supuesto acepta Z."
"¿La acepto?" dijo la Tortuga inocentemente. "Dejémoslo completamente claro. Acepto A y B y C y D. Suponga que todavía me niego a aceptar Z."
"¡Entonces la Lógica le agarraría del cuello y le forzaría a hacerlo!", replicó triunfalmente Aquiles. "La Lógica le diría, '¡No se puede librar. Ahora que ha aceptado A y B y C y D, debe aceptar Z!' De modo que no tiene alternativa, Ud. ve."
"Cualquier cosa que la Lógica tenga a bien decirme merece ser anotada", dijo la Tortuga, "de modo que regístrela en su libro, por favor. La llamaremos
'E' Si A y B y C y D son verdaderas, Z debe ser verdadera. Hasta que haya admitido eso, por supuesto no necesito admitir Z. De modo que es un paso completamente necesario, ¿ve Ud.?"
"Ya veo", dijo Aquiles; y había un toque de tristeza en su tono de voz.
Aquí el narrador, que tenía urgentes negocios en el Banco, se vio obligado a dejar a la simpática pareja y no pasó por el lugar nuevamente hasta algunos meses después. Cuando lo hizo, Aquiles estaba aún sentado sobre el caparazón de la muy tolerante Tortuga y seguía escribiendo en su libreta de apuntes que parecía estar casi llena.
La Tortuga estaba diciendo, "¿ha anotado el último paso? Si no he perdido la cuenta, ese es el mil uno. Quedan varios millones más todavía. Y le importaría, como un favor personal, considerando el rompecabezas que este coloquio nuestro proveería los Lógicos del siglo XIX. ¿le importaría adoptar un retruécano que mi prima la Tortugacuática Artificial hará entonces y permitirse ser renombrado 'Aquiles el Sutiles'?"
"¡Como guste!", replicó el cansado guerrero con un triste tono de desesperanza en su voz, mientras sepultaba la cara entre sus manos. "Siempre que usted, por su parte, adopte un retruécano que la Tortugacuática Artificial nunca hizo y se permita renombrarse 'Tortuga Tortura".
"¿De modo que ha llegado usted al final de nuestra carrera?" dijo la Tortuga. "¿Aún cuando consistía en una serie infinita de distancias? ¿Pensó que algún sabihondo había probado que la cuestión no podía ser realizada?"
"Sí puede ser realizada", dijo Aquiles. "¡Ella ha sido realizada! Solivitur ambulando. Usted ve, las distancias fueron disminuyendo constantemente y asi..."
"¿Pero si hubieran ido aumentando," interrumpió la tortuga, "entonces qué?"
"Entonces yo no debería estar aquí", replicó modestamente Aquiles; "y a estas alturas usted hubiera dado ya varias vueltas al mundo."
"Me aclama - aplana, quiero decir", dijo la Tortuga; "pues usted sí que es un peso pesado, ¡sin duda! Ahora bien, ¿le gustaría oir acerca de una carrera en la que la mayoría de la gente cree poder llegar con dos o tres pasos al final y que realmente consiste en un número infinito de distancias, cada una más larga que la distancia anterior?".
"¡Me encantaría, de veras!" dijo el guerrero griego mientras sacaba de su casco (pocos guerreros griegos poseían bolsillos en aquellos días) una enorme libreta de apuntes y un lápiz. "¡Empiece, y hable lentamente, por favor! ¡La taquigrafia aún no ha sido inventada!"
"¡El hermoso Primer Teorema de Euclides!", murmuró como en sueños la tortuga. "¿Admira usted a Euclides?"
"¡Apasionadamente! ¡Al menos, tanto como uno puede admirar un tratado que no será publicado hasta dentro de algunos siglos más!"
"Bien, en ese caso tomemos solo una pequeña parte del argumento de ese Primer Teorema: sólo dos pasos y la conclusión extraída de ellos. Tenga la bondad de registrarlos en su libreta. Y, a fin de referirnos a ellos convenientemente, llamémoslos A, B y Z.
(A) Dos cosas que son iguales a una tercera son iguales entre sí.
(B) Los dos lados de este triángulo son iguales a un tercero.
(Z) Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.
Los lectores de Euclides admitirán, supongo, que Z se sigue lógicamente de A y B, de modo que quien acepte A y B como verdaderas debe aceptar Z como verdadera, ¿no?"
"¡Sin duda! Hasta el más joven de los alumnos de una Escuela Superior -tan pronto como se inventen las Escuelas Superiores, cosa que no sucederá hasta dentro de dos mil años- admitirán eso."
"Y si algún lector no ha aceptado A y B como verdaderas, supongo que aún podría aceptar la secuencia como valida."
"Sin duda que podría existir un lector así. El podría decir 'Acepto como verdadera la Proposición Hipotética de que si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera, pero no acepto A y B como verdaderas'. Un lector así procedería sabiamente abandonando a Euclides y dedicándose al fútbol."
"¿Y no podría haber tambien algún lector que pudiera decir 'Acepto A y B como verdaderas, pero no acepto la Hipotética'?"
"Ciertamente podría haberlo. El, también, mejor se hubiera dedicado al fútbol."
"¿Y ninguno de estos lectores", continuó la Tortuga, "tiene hasta ahora alguna necesidad lógica de aceptar Z como verdadera?"
"Así es", asintió Aquiles.
"Ahora bien, quiero que Ud. me considere a mí como un lector del segundo tipo y que me fuerce, lógicamente, a aceptar Z como verdadera."
"Una Tortuga jugando al fútbol sería..." comenzó Aquiles.
"... Una anomalía, por supuesto", interrumpió airadamente la Tortuga. "¡No se desvíe del tema, Primero Z y después el fútbol!"
"¿Debo forzarlo a aceptar Z, o no?" preguntó Aquiles pensativamente. "Y su posición actual es que acepta A y B pero NO acepta la Hipotética..."
"Llamémosla C", dijo la tortuga; "pero no acepta que:
(C) Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera."
"Esa es mi posición actual", dijo la Tortuga.
"Entonces debo pedirle que acepte C."
"Lo hará así", dijo la Tortuga, "tan pronto como lo haya registrado en su libreta de Apuntes. ¿Qué más tiene anotado?"
"¡Sólo unos pocos apuntes" dijo Aquiles agitando nerviosamente las hojas; "unos pocos apuntes de las batallas en las que me he distinguido!"
"¡Veo que hay un montón de hojas en blanco!" observó jovialmente la Tortuga. "¡Las necesitaremos todas!" (Aquiles se estremeció) "Ahora escriba mientras dicto:
(A) Dos cosas que son iguales a una tercera son iguales entre sí.
(B) Los dos lados de este triángulo son iguales a un tercero.
(C) Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera.
(Z) Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí."
"Debería llamarla D, no Z", dijo Aquiles. "Viene después de las otras tres. Si acepta A y B y C, debe aceptar Z."
"¿Y por qué debo?"
"Porque se desprende lógicamente de ellas. Si A y B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera. No puede discutir eso, me imagino."
"Si A y B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera", repitió pensativamente la Tortuga. "¿Esa es otra Hipótesis, o no? Y, si no reconociera su veracidad, ¿podría aceptar A y B y C, y todavía no aceptar Z, o no?"
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"¿La acepto?" dijo la Tortuga inocentemente. "Dejémoslo completamente claro. Acepto A y B y C y D. Suponga que todavía me niego a aceptar Z."
"¡Entonces la Lógica le agarraría del cuello y le forzaría a hacerlo!", replicó triunfalmente Aquiles. "La Lógica le diría, '¡No se puede librar. Ahora que ha aceptado A y B y C y D, debe aceptar Z!' De modo que no tiene alternativa, Ud. ve."
"Cualquier cosa que la Lógica tenga a bien decirme merece ser anotada", dijo la Tortuga, "de modo que regístrela en su libro, por favor. La llamaremos
'E' Si A y B y C y D son verdaderas, Z debe ser verdadera. Hasta que haya admitido eso, por supuesto no necesito admitir Z. De modo que es un paso completamente necesario, ¿ve Ud.?"
"Ya veo", dijo Aquiles; y había un toque de tristeza en su tono de voz.
Aquí el narrador, que tenía urgentes negocios en el Banco, se vio obligado a dejar a la simpática pareja y no pasó por el lugar nuevamente hasta algunos meses después. Cuando lo hizo, Aquiles estaba aún sentado sobre el caparazón de la muy tolerante Tortuga y seguía escribiendo en su libreta de apuntes que parecía estar casi llena.
La Tortuga estaba diciendo, "¿ha anotado el último paso? Si no he perdido la cuenta, ese es el mil uno. Quedan varios millones más todavía. Y le importaría, como un favor personal, considerando el rompecabezas que este coloquio nuestro proveería los Lógicos del siglo XIX. ¿le importaría adoptar un retruécano que mi prima la Tortugacuática Artificial hará entonces y permitirse ser renombrado 'Aquiles el Sutiles'?"
"¡Como guste!", replicó el cansado guerrero con un triste tono de desesperanza en su voz, mientras sepultaba la cara entre sus manos. "Siempre que usted, por su parte, adopte un retruécano que la Tortugacuática Artificial nunca hizo y se permita renombrarse 'Tortuga Tortura".
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