Considerado como padre de la Geometría, Euclides fue un matemático y geómetra griego que vivió en Alejandría entre el año 300 y el 265 a.d.e., bajo el reinado de Ptolomeo Soter, el fundador de la dinastía Ptolemaica. Este monarca solicitó a Euclides un procedimiento sencillo para dominar la ciencia Matemática, pero éste le contestó que en tal ciencia no existía camino regio posible y que debería incluso aventurarse por los más escarpados y difíciles para salir vencedor en terreno tan abrupto, aunque tambíén esta anécdota se atribuye a Menecmo (Triada de Elipse, Parábola e Hipérbola, también llamadas Cónicas de Menecmo, y Duplicación del Cubo como resolución al problema délico del altar del templo), de la academia platónica, en replica a un requerimiento similar por parte de Alejandro Magno.
Euclídes, buen conocedor de la geometría de la mencionada escuela platónica, reunió en su obra "Elementos" una recopilación de carácter enciclopédico con el saber matemático de toda la Antiguedad en relación, sobre todo, con el plano, pero también con el espacio tridimensional. Compuesta de trece libros, el primero trata de la construcción del traiángulo rectángulo y termina con el teorema de Pitágoras. El segundo libro estudia varias aplicaciones de dicho teorema resolviendo ecuaciones de segundo grado mediante procedimientos hoy en desuso. El libro tercero trata del círculo y sus propiedades, mientras que el libro cuarto estudia la inscripción y circunscripción de los polígonos regulares en el círculo. El libro quinto establece la teoría de las proporciones, lo cual desarrolla en el sexto libro mediante la comparación de figuras semejantes conteniendo, además, problemas de máximos y mínimos.
Los libros séptimo, octavo y noveno establecen los fundamentos de la aritmética: teoría del número, propiedades de las series numéricas, estudio de los números primos y del máximo común divisor. El libro décimo se ocupa de los números irracionales, mientras que los tres últimos libros versan sobre la geometría espacial.
Pero además de la compilación de conocimientos, resulta muy destacable la exposición de cada una de las proposiciones mediante un método axiomático: veintitrés principios definidos como puntos de partida, cinco postulados:
Se puede trazar una línea recta que pase por dos puntos.
Se puede prolongar una línea recta indefinidamente a partir de una recta finita.
Se puede trazar una circunferencia con centro y radio dado.
Todos los ángulos rectos son iguales.
Si una línea recta que corta a otras dos rectas forma de un mismo lado con ellas ángulos interiores cuya suma es menor que dos rectos, las dos últimas rectas prolongada indefinidamente se cortan del lado en que la suma de los ángulos es menor que dos rectos.
y cinco axiomas o nociones comunes, todo lo cual ha convertido este libro en texto de estudio y obra de conocimiento fundamental durante casi 2000 años, casi hasta principios del siglo XIX, momento en que aparece los primeros tímidos atisbos de la geometría no euclidiana a partir de los estudios de Kant expuestos en su obra "Prolegómenos", intuyendo la posibilidad de espacios más que tridimensionales.
Hay que tener en cuenta que los axiomas de Euclides para la geometría no sólo fueron y son todavía en gran medida el paradigma del modo de operar de la razón matemática sino que cristalizaron también una estética profunda y casi imperativa para esa razón, con implicaciones múltiples en la filosofía que llegan hasta la época contemporánea. Esa estética es la del delicado equilibrio entre simplicidad y alcance, entre la mínima cantidad de presupuestos y la máxima cantidad de consecuencias derivables. El atractivo y seducción del modelo euclideano reside en que a partir de nociones muy elementales como punto, recta, círculo, y sólo cinco axiomas que vinculan de manera casi obvia estas nociones entre sí, puede desarrollarse de teorema en teorema toda la geometría clásica, es decir, la totalidad de la geometría que conocía la humanidad hasta no hace mucho tiempo atrás y que Kant creyó la única posible: la geometría que se corresponde con la percepción que tenemos del mundo y sirve a cartógrafos, arquitectos y agrimensores para todos los usos diarios.
La larga influencia del procedimiento axiomático en la filosofía puede rastrearse en la Etica de Spinoza, que lleva como subtítulo “Demostrada según el orden geométrico” y también en la búsqueda de Descartes de una verdad “a salvo de toda duda razonable” que pudiera servir como primer principio y punto de apoyo para construir, por pasos puramente lógicos, un sistema de pensamiento inexpungable. Pero quizá la historia más conocida en torno a la geometría euclideana es la que tiene que ver con el quinto postulado:
"Dada una recta y un punto fuera de ella, hay una única recta paralela a la dada que pasa por ese punto·"
De los cinco axiomas este último era, incluso para el propio Euclides, el menos obvio, y en las demostraciones trata de utilizarlo sólo cuando es estrictamente necesario. Durante dos mil años se pensó que tal vez sería posible probar este quinto axioma a partir de los cuatro anteriores, como un teorema más, y encontrar esa demostración elusiva se convirtió en el principal problema abierto de los geómetras. Finalmente un joven estudiante ruso, Nikolay Lobachevsky, descubrió en 1826 que era enteramente posible desarrollar una nueva geometría en la que fueran válidos los cuatro primeros axiomas pero no el quinto. Posteriormente Bolyai probó algo todavía más curioso: que la nueva geometría, por extraña que pudiera parecer a la intuición, era tan legítima y sólida como la euclideana, en el sentido de que si llevaba a alguna contradicción lógica, la “culpa” de esta contradicción no podría atribuírse a la negación del quinto postulado, sino a los cuatro anteriores, compartidos con la geometría clásica.
Gauss, otro de los padres de la geometría hiperbólica, que había llegado por su cuenta a las mismas conclusiones y probablemente con anteriordad a Lobachevscky, observó que la existencia de una geometría no euclideana ponía en crisis la idea kantiana de una noción a priori del espacio. Este fue uno de los golpes más duros a la filosofía de Kant, al que se sumaron luego los experimentos sobre la geometría de la percepción visual, tampoco enteramente euclideana, debidos a Helmholtz.
El espíritu de Euclides revivió con particular fuerza a principios de 1900 en el programa de Hilbert para fundamentar la matemática y el pensamiento axiomático. Algunas paradojas lógicas señaladas por Russell en la teoría de conjuntos habían hecho crujir por primera vez el edificio orgulloso de la matemática y mostraban la necesidad de buscar principios y métodos de corroboración que permitieran la revisión cuidadosa de cada resultado. La idea detrás del programa de Hilbert era que debía dotarse a toda la matemática de un conjunto de axiomas bien determinados, como los cinco postulados de Euclides, de manera que todo resultado que los matemáticos proclamasen como verdadero, utilizando cualquier método, pudiera corrobarse y reobtenerse a partir de estos axiomas por medio de un procedimiento puramente mecánico, en una sucesión finita de pasos. En una palabra, Hilbert procuraba identificar la noción de verdadero con la noción de demostrable, y así introduce una revisión de los 23 axiomas por 21, y se crea un sistema axiomático moderno en el que no son tomados como verdades evidentes, es decir que los elementos son independientes de su propia existencia teniendo en cuenta sus relaciones definidas y la congruencia entre pares de puntos y ángulos, unificando la geometría en dos y tres dimensiones. De este revisionismo euclideo nacerá la escuela Formalista, una de las tres escuelas matemáticas del siglo XX junto con el Logicismo y el Intuicionismo, y que propone que la Matemática es un juego carente de significado en el que uno juega con símbolos carentes de significado de acuerdo a unas reglas formales establecidas de antemano. Por tanto es una actividad de pensamiento autónoma y libre de contradicciones. Sin embargo, existe un amplio margen de duda al respecto sobre si la propia visión de Hilbert era simplistamente formalista en este sentido.
En 1930 Kurt Gödel mostró que exactamente lo mismo ocurre en la Matemática. Su teorema de incompletitud dio por tierra con el programa de Hilbert al revelar que aún en el fragmento elemental de la aritmética (los números naturales, con la suma y la multiplicación) es imposible dar una cantidad finita de postulados, a la manera de Euclides, que permitan reobtener como teoremas todos los enunciados verdaderos. Es decir, la aritmética, a diferencia de la geometría clásica, es irreductible a un tratamiento axiomático.
El teorema de Gödel, convertido en objeto de culto a la lógica de los psicólogos lacanianos, debe verse como un resultado sobre la limitación de los métodos formales axiomáticos, y en general, como un resultado sobre la limitación del lenguaje. Desde el punto de vista de la matemática dice que hay más complejidad en el mundo de los objetos matemáticos de la que pueden dar cuenta los métodos finitistas de demostración. Dice también que la inteligencia y el discernimiento humano es irremplazable: no puede modelarse un ordenador que arroje todos los enunciados verdaderos sobre los números naturales. El factor humano resulta insustituible para interpretar y asignar sentido.
A la vez, el resultado de Gödel pone por primera vez en crisis la estética simplicidad-alcance profundamente asimilada a partir de Euclides en el pensamiento matemático: la aritmética, y muchos otros fragmentos de la matemática, no pueden axiomatizarse sin perder en el camino una parte de su alcance.
Por lo tanto podemos decir que los fundamentos de las matemáticas, vistos desde el logicismo, el intuicionismo y el formalismo tienen su fundamento en la filosofía, ya que ésta, esuna búsqueda sin término del verdadero conocimiento de la realidad. La filosofía es verdadero amor por la sabiduría y su lenguaje hace de las definiciones, conceptos de amplia visión.
Según Willard Van Orman Quine (1908-2000) filósofo nacido en Akron, Ohio, y reconocido por la contribución de trabajos a la lógica matemática y al pragmatismo como teoría de conocimiento, las raíces filosóficas que se asocian a cada una de las escuelas que intentaron dotar de fundamentos sólidos a las matemáticas son:
El logicismo que se asocia con la escuela filosófica denominada realismo, la cual nos permite aceptar muchas más entidades abstractas en matemáticas, tales como: números, funciones, conjuntos, etc, ya que sostiene que las entidades abstractas tienen una existencia independiente de la mente humana La mente puede describirlas pero no crearlas.
El intuicionismo, asociado con la escuela filosófica llamada conceptualismo. Esta escuela filosófica afirma que las entidades abstractas no tienen existencia en el inundo externo, sólo existen en la medida en que sean construidas por la mente humana.
Y por último, el formalismo que se relaciona con la corriente filosófica llamada nominalismo. Esta corriente sostiene que las entidades abstractas no tienen existencia de ninguna especie, ni fuera de la mente humana, como sostiene el realismo, ni como construcciones mentales en la mente humana, según la apreciación del conceptualismo. Para el nominalismo, las entidades abstractas son meras exclamaciones vocales o líneas escritas, sólo son nombres. De allí el término nominalismo, del latín "nominalis" que significa "perteneciente a un nombre".
No hay comentarios:
Publicar un comentario