Paradojas y Conjuntos Subversivos

En Alemania, durante el siglo XIX, se perfiló la Teoría de Conjuntos a través de los estudios y conjeturas de Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind. La representación de los mismos mediante diagramas fue ideada por el filósofo inglés John Venn, también en el siglo XIX. Curiosa coincidencia de lugares y fechas pues se encuentran paralelas a las teorías de Marx y Engels y, de alguna forma, son una representación científica de las mismas.

Proposiciones, axiomas y propiedades tales como: Subconjuntos y Superconjuntos, Igualdad, Conjuntos Vacíos, Unión, Intersección, Partición, Diferencia, Complemento, Propiedad Idempotente, Conmutativa, Asociativa, Distributiva o Complementariedad son igualmente válidos para el desarrollo de teorías económico-sociales como el Comunismo, como para el desarrollo de la pura abstracción Matemática.

Pero, como en toda teoría el factor humano se hace presente y éste siempre se caracteriza por la paradoja. Paradoja viene de paradoxon del griego παράδοξος, también concocida como aporética, cuyo origen es aporía del griego ἀπορία: "diificultad de pasar", y que expresa o contiene una inviabilidad de orden racional.

Paradójico es tanto aquello que encierra contradicción como lo que va en contra de la opinión común. Lo inverosímil, lo absurdo, y también lo extraño, opuesto e inesperado.

Tampoco la Matemática se encuentra exenta de paradojas como demostró Bertrand Russell en 1901, cuando trabajaba en su obra conjunta junto a Alfred North Whitehead "Principia Mathematica", con su paradoja del barbero:

"El único barbero de la ciudad dice que afeitará a todos aquellos que no se afeiten a sí mismos."

Pregunta: ¿quién afeitará al barbero? Si no se afeita a sí mismo será una de las personas de la ciudad que no se afeitan a sí mismas, con lo cual debería de afeitarse, siendo por tanto una de las personas que se afeitan a sí mismas, no debiendo por tanto afeitarse."

Es decir que los conjuntos parecen ser de dos tipos: los que se contienen a sí mismos como miembros y los que no. Un ejemplo de los primeros sería el conjunto de las cosas pensables, pues a su vez es una cosa pensable. Un ejemplo de los segundos sería el conjunto de los matemáticos, pues el conjunto en sí no es un matemático y, por tanto, no pertenece al conjunto como miembro.

Consideremos ahora el conjunto todos los conjuntos que no se contiene a sí mismos como miembro. Llamémosle T. ¿está T contenido en sí mismo como miembro? Si lo está, por definición no se contiene a sí mismo, luego no lo está. Pero si no lo está, por definición, debe estar.

Otra paradoja famosa es la de Aquiles y La Tortuga creada por Zenón de Elea, que vivió aproximadamente entre el año 490 hasta el 430 a.n.e, como apoyo a la doctrinas de Parménides:

"Aquiles, llamado "el de los pies ligeros" y el más hábil guerrero de los Aqueos, quien mató a Héctor, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él."

Y no obstante esa paradoja es falsa pues, además de no contar con el factor tiempo, una suma de infinitos términos puede dar lugar a un resultado finito como demostraría James Gregory, matemático y astrónomo escocés del siglo XVII.



¿El conjunto vacío existe como cero o cero es nada, luego no es un conjunto? ¿o es cero porque puede tender a infinito? ¿Es cero el hombre porque sueña tender a infinito? ¿Es todo número cero ante el infinito?



¿Es la Ciencia altamente subversiva o lo es la paradoja?


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